Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Kroneckera-Capellego[1]twierdzenie algebry liniowej dające kryterium istnienia rozwiązań układu równań liniowych i umożliwiające ich klasyfikację (która, opisana w niniejszym artykule jako „wniosek”, jest często przytaczana w samym twierdzeniu); stanowi ono uogólnienie opisu rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych zawartego w twierdzeniu o rzędzie na przypadek niejednorodny.

Jako pierwszy miał je udowodnić Georges Fontené (co zaznaczył w swoim piśmie do Nouvelles Annales de Mathématiques), przed Eugènem Rouchém, który opublikował w 1875 roku pierwszą wersję twierdzenia[2], a następnie pełniejszą w 1880 roku[3]. Gdy Ferdinand Georg Frobenius powoływał się na to twierdzenie w swoich pracach[4], przypisywał je Rouchému i Fontenému. Alfredo Capelli miał być pierwszym, który wyraził to twierdzenie w języku macierzy (za pomocą pojęcia rzędu)[5]. Wersja Leopolda Kroneckera pojawiła się w jego wykładach o teorii wyznaczników[6].

Polska nazwa twierdzenia (stosowana również m.in. w Rosji) nosi nazwiska Kroneckera i Capellego, choć we Włoszech przypisuje się je Rouchému i Capellemu, a we Francji wynik ten nazywa się twierdzeniem Rouchégo–Fontenégo; w Hiszpanii znane jest ono jako twierdzenie Rouchégo–Frobeniusa, najprawdopodobniej za sprawą hiszpańsko-argentyńskiego matematyka Julia Reya Pastora, który określał je w ten sposób.

Twierdzenie[edytuj]

Niech dany będzie układ równań liniowych gdzie rząd macierzy typu (co oznacza, że jest liczbą niewiadomych, a określa liczbę równań) wynosi z macierzą rozszerzoną rzędu Układ ten ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

Wniosek

Ponieważ zbiór rozwiązań układu zależy od parametrów w sposób afiniczny (tworzy przestrzeń afiniczną tego wymiaru), to w przypadku rozwiązanie układu wyznaczone jest jednoznacznie (zerowymiarowa przestrzeń opisuje punkt). Jeśli układ jest jednorodny, to zbiór rozwiązań zależy od parametrów w sposób liniowy (tworzy przestrzeń liniową tego wymiaru) i wtedy jednoznaczność rozwiązania oznacza jego trywialność, tj.

Dowód[edytuj]

Niech będą wektorami odpowiadającymi kolejnym kolumnom macierzy zaś wektorom kolumnowym odpowiadają wektory oraz Wektor jest rozwiązaniem układu wtedy i tylko wtedy, gdy co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy należy do powłoki liniowej co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar tej powłoki nie zwiększa się po dodaniu do niej wektora tj. Wynika stąd, że przestrzeń wektorów kolumnowych macierzy oraz mają równe wymiary, co oznacza równość rzędów tych macierzy.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Spotykana forma nazwiska Cappellego, mianowicie „Capelliego” jest błędna, co wyjaśnia Słownik ortograficzny języka polskiego wraz z zasadami pisowni i interpunkcji (wydany w 1981 przez PWN) na stronie 137.
  2. W pracy Sur la discussion des equations du premier degré w Comptes rendus de l'Académie des sciences (tom 81).
  3. W Journal de l'École polytechnique.
  4. Np. Zur Theorie der linearen Gleichungen wydanej w 1905 roku w piśmie Journal für die reine und angewandte Mathematik.
  5. W swej pracy Sopra la compatibilitá o incompatibilitá di più equazioni di primo grado fra picì incognite z 1892 roku wydanej w Revista di Matematica (tom 2, ss. 54-58).
  6. Prowadzonych na Uniwersytecie Berlińskim w latach 1883–1891, wydanych w Lipsku w 1903 roku pt. Vorlesungen über die Theorie der Determinanten.

Bibliografia[edytuj]

  • Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej. Cz. 1. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2566-2 (cz.1).
  • Tadeusz Koźniewski: Wykłady z algebry liniowej.