Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Kroneckera-Capellego[1]twierdzenie algebry liniowej dające kryterium istnienia rozwiązań układu równań liniowych i umożliwiające ich klasyfikację (która, opisana w niniejszym artykule jako „wniosek”, jest często przytaczana w samym twierdzeniu); stanowi ono uogólnienie opisu rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych zawartego w twierdzeniu o rzędzie na przypadek niejednorodny.

Jako pierwszy miał je udowodnić Georges Fontené (co zaznaczył w swoim piśmie do Nouvelles Annales de Mathématiques), przed Eugènem Rouchém, który opublikował w 1875 roku pierwszą wersję twierdzenia[2], a następnie pełniejszą w 1880 roku[3]. Gdy Ferdinand Georg Frobenius powoływał się na to twierdzenie w swoich pracach[4], przypisywał je Rouchému i Fontenému. Alfredo Capelli miał być pierwszym, który wyraził to twierdzenie w języku macierzy (za pomocą pojęcia rzędu)[5]. Wersja Leopolda Kroneckera pojawiła się w jego wykładach o teorii wyznaczników[6].

Polska nazwa twierdzenia (stosowana również m.in. w Rosji) nosi nazwiska Kroneckera i Capellego, choć we Włoszech przypisuje się je Rouchému i Capellemu, a we Francji wynik ten nazywa się twierdzeniem Rouchégo–Fontenégo; w Hiszpanii znane jest ono jako twierdzenie Rouchégo–Frobeniusa, najprawdopodobniej za sprawą hiszpańsko-argentyńskiego matematyka Julia Reya Pastora, który określał je w ten sposób.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie układ równań liniowych \scriptstyle \mathbf{AX} = \mathbf B, gdzie rząd macierzy \scriptstyle \mathbf A typu \scriptstyle m \times n (co oznacza, że \scriptstyle n jest liczbą niewiadomych, a \scriptstyle m określa liczbę równań) wynosi \scriptstyle r, z macierzą rozszerzoną \scriptstyle \mathbf U = [\mathbf A|\mathbf B] rzędu \scriptstyle s. Układ ten ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle r = s.

Wniosek

Ponieważ zbiór rozwiązań układu zależy od \scriptstyle n - r parametrów w sposób afiniczny (tworzy przestrzeń afiniczną tego wymiaru), to w przypadku \scriptstyle r = s = n rozwiązanie układu wyznaczone jest jednoznacznie (zerowymiarowa przestrzeń opisuje punkt). Jeśli układ jest jednorodny, to zbiór rozwiązań zależy od \scriptstyle n - r parametrów w sposób liniowy (tworzy przestrzeń liniową tego wymiaru) i wtedy jednoznaczność rozwiązania oznacza jego trywialność, tj. \scriptstyle \mathbf X = \mathbf 0.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle \mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n będą wektorami odpowiadającymi kolejnym kolumnom macierzy \scriptstyle \mathbf A, zaś wektorom kolumnowym \scriptstyle \mathbf X, \mathbf B odpowiadają wektory \scriptstyle \mathbf x = (x_1, \dots, x_n) oraz \scriptstyle \mathbf b. Wektor \scriptstyle \mathbf x jest rozwiązaniem układu wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle x_1 \mathbf a_1 + \dots + x_n \mathbf a_n = \mathbf b, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle \mathbf b należy do powłoki liniowej \scriptstyle \mathrm{lin}(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n), co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar tej powłoki nie zwiększa się po dodaniu do niej wektora \scriptstyle \mathbf b, tj. \scriptstyle \dim \mathrm{lin}(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n) =  \dim \mathrm{lin}(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n, \mathbf b). Wynika stąd, że przestrzeń wektorów kolumnowych macierzy \scriptstyle \mathbf A oraz \scriptstyle \mathbf U mają równe wymiary, co oznacza równość rzędów tych macierzy.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Spotykana forma nazwiska Cappellego, mianowicie „Capelliego” jest błędna, co wyjaśnia Słownik ortograficzny języka polskiego wraz z zasadami pisowni i interpunkcji (wydany w 1981 przez PWN) na stronie 137.
  2. W pracy Sur la discussion des equations du premier degré w Comptes rendus de l'Académie des sciences (tom 81).
  3. W Journal de l'École polytechnique.
  4. Np. Zur Theorie der linearen Gleichungen wydanej w 1905 roku w piśmie Journal für die reine und angewandte Mathematik.
  5. W swej pracy Sopra la compatibilitá o incompatibilitá di più equazioni di primo grado fra picì incognite z 1892 roku wydanej w Revista di Matematica (tom 2, ss. 54-58).
  6. Prowadzonych na Uniwersytecie Berlińskim w latach 1883–1891, wydanych w Lipsku w 1903 roku pt. Vorlesungen über die Theorie der Determinanten.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej. Cz. 1. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2566-2 (cz.1).
  • Tadeusz Koźniewski: Wykłady z algebry liniowej.