Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Twierdzenie Kroneckera-Capellego – twierdzenie algebry liniowej dające kryterium istnienia rozwiązań układu równań liniowych i umożliwiające ich klasyfikację (która, opisana w niniejszym artykule jako „wniosek”, jest często przytaczana w samym twierdzeniu); stanowi ono uogólnienie opisu rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych zawartego w twierdzeniu o rzędzie na przypadek niejednorodny.

Jako pierwszy miał je udowodnić Georges Fontené (co zaznaczył w swoim piśmie do Nouvelles Annales de Mathématiques z listopada 1875 roku), przed Eugènem Rouchém, który opublikował wcześniej w 1875 roku pierwszą wersję twierdzenia, a następnie pełniejszą w 1880 roku. Gdy Ferdinand Georg Frobenius powoływał się na to twierdzenie w swoich pracach, przypisywał je Rouchému i Fontenému. Alfredo Capelli miał być pierwszym, który wyraził to twierdzenie w języku macierzy (za pomocą pojęcia rzędu). Wersja Leopolda Kroneckera pojawiła się w jego wykładach o teorii wyznaczników.

Polska nazwa twierdzenia (stosowana również m.in. w Rosji) nosi nazwiska Kroneckera i Capellego, choć we Włoszech przypisuje się je Rouchému i Capellemu, a we Francji wynik ten nazywa się twierdzeniem Rouchégo-Fontenégo; w Hiszpanii znane jest ono jako twierdzenie Rouchégo-Frobeniusa, najprawdopodobniej za sprawą hiszpańsko-argentyńskiego matematyka Julia Reya Pastora, który określał je w ten sposób.

Twierdzenie

Niech dany będzie układ równań liniowych $\mathbf {AX} =\mathbf {B} ,$ gdzie rząd macierzy $\mathbf {A}$ typu $m\times n$ (co oznacza, że $n$ jest liczbą niewiadomych, a $m$ określa liczbę równań) wynosi $r,$ z macierzą rozszerzoną $\mathbf {U} =[\mathbf {A} |\mathbf {B} ]$ rzędu $s.$ Układ ten ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $r=s.$

Wniosek

Ponieważ zbiór rozwiązań układu zależy od $n-r$ parametrów w sposób afiniczny (tworzy przestrzeń afiniczną tego wymiaru), to w przypadku $r=s=n$ rozwiązanie układu wyznaczone jest jednoznacznie (zerowymiarowa przestrzeń opisuje punkt). Jeśli układ jest jednorodny, to zbiór rozwiązań zależy od $n-r$ parametrów w sposób liniowy (tworzy przestrzeń liniową tego wymiaru) i wtedy jednoznaczność rozwiązania oznacza jego trywialność, tj. $\mathbf {X} =\mathbf {0} .$

Dowód

Niech $\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}$ będą wektorami odpowiadającymi kolejnym kolumnom macierzy $\mathbf {A} ,$ zaś wektorom kolumnowym $\mathbf {X} ,\mathbf {B}$ odpowiadają wektory $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})$ oraz $\mathbf {b} .$ Wektor $\mathbf {x}$ jest rozwiązaniem układu wtedy i tylko wtedy, gdy $x_{1}\mathbf {a} _{1}+\ldots +x_{n}\mathbf {a} _{n}=\mathbf {b} ,$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathbf {b}$ należy do powłoki liniowej $\mathrm {lin} (\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}),$ co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar tej powłoki nie zwiększa się po dodaniu do niej wektora $\mathbf {b} ,$ tj. $\dim \mathrm {lin} (\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n})=\dim \mathrm {lin} (\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n},\mathbf {b} ).$ Wynika stąd, że przestrzeń wektorów kolumnowych macierzy $\mathbf {A}$ oraz $\mathbf {U}$ mają równe wymiary, co oznacza równość rzędów tych macierzy.

Zobacz też

• twierdzenie o rzędzie
• wzory Cramera

Bibliografia

• Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej. Cz. 1. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2566-2 (cz.1).brak strony w książce
• Tadeusz Koźniewski: Wykłady z algebry liniowej.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Kronecker-Capelli theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].