Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Ten artykuł wymaga uzupełnienia informacji. Artykuł należy uzupełnić o
istotne informacje : opisać metodę sprowadzania równania Eulera do liniowego równania różniczkowego o stałych współczynnikach.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu . Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Równanie różniczkowe Eulera rzędu n – równanie różniczkowe postaci:
a
n
x
n
y
(
n
)
+
a
n
−
1
x
n
−
1
y
(
n
−
1
)
.
.
.
+
a
1
x
y
′
+
a
0
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}...+a_{1}xy'+a_{0}y=f(x)\quad {}}
dla
a
n
≠
0
,
{\displaystyle a_{n}\neq 0,}
gdzie
a
n
,
…
,
{\displaystyle a_{n},\dots ,}
a
0
{\displaystyle a_{0}}
są stałymi, a równanie jest liniowe względem
y
{\displaystyle y}
i jego pochodnych.
Jeżeli
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
to równanie Eulera przyjmuje postać:
a
n
x
n
y
(
n
)
+
a
n
−
1
x
n
−
1
y
(
n
−
1
)
.
.
.
+
a
1
x
y
′
+
a
0
y
=
0
{\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}...+a_{1}xy'+a_{0}y=0\quad {}}
dla
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
i nazywamy je równaniem jednorodnym .
Równanie różniczkowe Eulera można sprowadzić do równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach podstawieniem
x
=
e
t
{\displaystyle x=e^{t}}
d
x
d
t
=
e
t
=
x
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=e^{t}=x}
d
t
d
x
=
e
−
t
=
x
−
1
{\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=e^{-t}=x^{-1}}
Dla pierwszego składnika:
x
d
y
d
x
=
x
d
y
d
t
d
t
d
x
=
x
d
y
d
t
x
−
1
=
d
y
d
t
{\displaystyle x{\frac {dy}{dx}}=x{\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{dx}}=x{\frac {dy}{dt}}x^{-1}={\frac {dy}{dt}}}
Dla drugiego składnika:
x
2
d
2
y
d
x
2
=
x
2
d
d
x
(
d
y
d
x
)
=
x
2
d
t
d
x
d
d
t
(
d
y
d
t
d
t
d
x
)
=
e
2
t
e
−
t
d
d
t
(
d
y
d
t
e
−
t
)
=
e
t
(
d
2
y
d
t
2
e
−
t
−
d
y
d
t
e
−
t
)
=
d
2
y
d
t
2
−
d
y
d
t
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=x^{2}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)=x^{2}{\frac {dt}{dx}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}{\frac {dt}{dx}}\right)=e^{2t}e^{-t}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}e^{-t}\right)=e^{t}\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}e^{-t}-{\frac {dy}{dt}}e^{-t}\right)={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {dy}{dt}}}
Dla pozostałych obliczenia wyglądają analogicznie.
Weźmy równanie
a
2
x
2
y
(
2
)
+
a
1
x
y
(
1
)
+
a
0
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle a_{2}x^{2}y^{(2)}+a_{1}xy^{(1)}+a_{0}y=f(x)}
Połóżmy
y
(
x
)
=
u
(
ln
(
|
x
|
)
)
{\displaystyle y(x)=u(\ln(|x|))}
a
2
x
2
(
u
(
2
)
⋅
1
x
2
−
u
(
1
)
⋅
1
x
2
)
+
a
1
x
u
(
1
)
⋅
1
x
+
a
0
u
=
f
(
x
)
{\displaystyle a_{2}x^{2}\left(u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}-u^{(1)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}\right)+a_{1}xu^{(1)}\cdot {\frac {1}{x}}+a_{0}u=f(x)}
a
2
u
(
2
)
−
a
2
u
(
1
)
+
a
1
u
(
1
)
+
a
0
u
=
f
(
x
)
{\displaystyle a_{2}u^{(2)}-a_{2}u^{(1)}+a_{1}u^{(1)}+a_{0}u=f(x)}
a
2
u
(
2
)
+
(
a
1
−
a
2
)
u
(
1
)
+
a
0
u
=
f
(
x
)
{\displaystyle a_{2}u^{(2)}+(a_{1}-a_{2})u^{(1)}+a_{0}u=f(x)}
A to jest już równanie liniowe o stałych współczynnikach
Znajdujemy pierwiastki równania charakterystycznego , następnie uzmienniamy stałą, rozwiązując układ z macierzą Wrońskiego
Przykład
x
3
y
(
3
)
−
x
2
y
(
2
)
−
2
x
y
(
1
)
+
6
y
=
0
{\displaystyle x^{3}y^{(3)}-x^{2}y^{(2)}-2xy^{(1)}+6y=0}
y
(
x
)
=
u
(
ln
|
x
|
)
{\displaystyle y(x)=u(\ln {|x|})}
−
u
(
2
)
⋅
3
/
x
3
x
3
(
u
(
3
)
⋅
1
x
3
−
u
(
2
)
⋅
1
x
3
+
u
(
1
)
⋅
2
x
3
)
−
x
2
(
u
(
2
)
⋅
1
x
2
−
u
(
1
)
⋅
1
x
2
)
−
2
x
u
(
1
)
⋅
1
x
+
6
y
=
0
{\displaystyle -u^{(2)}\cdot 3/x^{3}x^{3}\left(u^{(3)}\cdot {\frac {1}{x^{3}}}-u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{3}}}+u^{(1)}\cdot {\frac {2}{x^{3}}}\right)-x^{2}\left(u^{(2)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}-u^{(1)}\cdot {\frac {1}{x^{2}}}\right)-2xu^{(1)}\cdot {\frac {1}{x}}+6y=0}
u
(
3
)
−
3
u
(
2
)
+
2
u
(
1
)
−
(
u
(
2
)
−
u
(
1
)
)
−
2
u
(
1
)
+
6
u
=
0
{\displaystyle u^{(3)}-3u^{(2)}+2u^{(1)}-(u^{(2)}-u^{(1)})-2u^{(1)}+6u=0}
u
(
3
)
−
4
u
(
2
)
+
u
(
1
)
+
6
u
=
0
{\displaystyle u^{(3)}-4u^{(2)}+u^{(1)}+6u=0}
λ
3
−
4
λ
2
+
λ
+
6
=
0
{\displaystyle \lambda ^{3}-4\lambda ^{2}+\lambda +6=0}
(
λ
+
1
)
⋅
(
λ
−
2
)
⋅
(
λ
−
3
)
=
0
{\displaystyle (\lambda +1)\cdot (\lambda -2)\cdot (\lambda -3)=0}
u
=
C
1
e
−
x
+
C
2
e
2
x
+
C
3
e
3
x
{\displaystyle u=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}}
y
=
C
1
⋅
1
x
+
C
2
⋅
x
2
+
C
3
⋅
x
3
{\displaystyle y=C_{1}\cdot {\frac {1}{x}}+C_{2}\cdot x^{2}+C_{3}\cdot x^{3}}