Dzielenie przez zero

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Dzielenie przez zero − w matematyce dzielenie, w którym dzielnik jest zerem; jako takie nie ma ono sensu, przez co bywa źródłem błędów obliczeniowych, często ukrytych.

Prostym przykładem błędu wynikłego z powodu dzielenia przez zero jest następujący: niech a = 1 i b = 1, wówczas skoro a = b, to również a^2 = b^2 oraz a^2 - b^2 = 0, a ze wzoru na różnicę kwadratów jest (a - b)(a + b) = 0. Dzieląc stronami przez a-b uzyskuje się

\frac{(a - b)(a + b)}{a - b} = \frac{0}{a - b},

co jest równoważne a + b = 0, a więc 1 + 1 = 0, skąd 2 = 0. Sprzeczność tę łatwo wyłowić zauważając, że a - b = 1 - 1 = 0.

Wytłumaczenie[edytuj | edytuj kod]

Definiując działanie algebraiczne, które dla dowolnych dwóch liczb a i b przyjmowało wartości pokrywające się ze zwykłym dzieleniem, w przypadku gdy b \ne 0 oraz jakąkolwiek, ustaloną z góry, wartość dla b = 0 popada się w sprzeczność bądź niejednoznaczność. Działanie dzielenia określa się jako działanie odwrotne względem mnożenia, tzn.

\frac{a}{b} = a \cdot \frac{1}{b},

gdzie \tfrac{1}{b} jest elementem odwrotnym do b, dla którego z definicji zachodzić ma

b \cdot \frac{1}{b} = 1.

W ten sposób dzielenie przez zero jest tożsame z równaniem

b \cdot 0 = 1,

które jest sprzeczne dla dowolnego b, o ile tylko 0 \ne 1. Definicja ciała zawiera ten warunek, dlatego dzielenie przez zero nie ma sensu w liczbach wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych; każdy pierścień spełniający warunek 0 = 1 jest pierścieniem trywialnym zawierającym tylko ten element, a więc zdefiniowanie np. liczb całkowitych (tworzących pierścień) jest wtedy niemożliwe.

Z kolei napisowi \tfrac{0}{0} można przypisać jakąkolwiek wartość, gdyż

\tfrac{0}{0} = 0 \cdot \tfrac{1}{0} = 0,

jakkolwiek nie dobrać wartości \tfrac{1}{0}. Dlatego dzielenia zera przez zero również nie można nazwać działaniem, gdyż brak mu wymaganej jednoznaczności wyniku, która cechuje jakiekolwiek inne dzielenie przez liczbę różną od zera. W algebrze rozpatruje się pierścienie, które mają tzw. właściwe dzielniki zera (elementy, które pomnożone przez pewien inny dają w wyniku zero) − mimo braku zgodności z intuicją definicja takich elementów jest poprawna, choć nie można przez nie dzielić (podobnie jak przez zero, które jest jedynym dzielnikiem zera w ciałach), tzn. nie są odwracalne.

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Choć symbol \tfrac{a}{0} dla dowolnego a, również dla zera, nie ma sensu, to oznaczenie to stosuje się w analizie matematycznej do oznaczania niewłaściwych granic ciągów, czy granic funkcji. Jeśli a \ne 0 jest dowolną liczbą, to symbol ten oznacza, że granicą ciągu bądź funkcji jest \pm \infty (w zależności od znaku tej liczby). Symbol \tfrac{0}{0} oznacza, że dana granica może mieć dowolną granicę właściwą bądź niewłaściwą, bądź może nie istnieć. W przypadku liczb rzeczywistych pomocne mogą się okazać inne kryteria zbieżności, np. twierdzenie Stolza w przypadku ciągów lub jego różniczkowy odpowiednik dla funkcji − reguła de l'Hospitala. Symbole te stosuje się również w kontekście liczb zespolonych, gdzie standardowo mają podobną interpretację.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]