Twierdzenie Stolza

Twierdzenie Stolza (zwane czasem twierdzeniem Stolza-Cesàro) to twierdzenie mówiące o zbieżności pewnych ciągów rzeczywistych. Nazwane imionami matematyków Otto Stolza i Ernesto Cesàro.

Twierdzenie

Niech ciąg $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem rosnącym rozbieżnym do $\infty$. Wówczas:

• I. $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right)=g \Rightarrow \lim_{n\to\infty} \left(\frac{b_n}{a_n}\right)=g$
• II. $\left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right) \xrightarrow[n\to \infty]{} \pm \infty \Rightarrow \left(\frac{b_n}{a_n}\right) \xrightarrow[n\to \infty]{} \pm \infty$

Dowód

Przypadek I

Ciąg $\left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right)$ jest zbieżny.

Podstawiając w lemacie Toeplitza za $a_n, x_n\,$ odpowiednio:

$a_n-a_{n-1}\,$ oraz $\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}$ dla $n>1\,$ oraz $a_1,\frac{b_1}{a_1}$ dla $n=1\,$ otrzymujemy tezę naszego twierdzenia.

Przypadek II

Ciąg $\left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right)$ ma granicę niewłaściwą.

Przypadek II a

Załóżmy, że $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right)=\infty$.

Rozważmy $n_{1},n_{2}\,$ takie, że: $a_n>0\,$ dla wszystkich $n\geqslant n_1$

$\bigwedge_{n\geqslant n_2}$$\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}>1$

Niech $N_0=\max \{n_1,n_2\}\,$.

Wtedy $b_n-b_{n-1}>a_n-a_{n-1}\,$ dla $n\geqslant N_0$, a więc można pokazać indukcyjnie, że dla dowolnego $k\in\mathbb{N}\cup \{0\}$ prawdziwa jest nierowność:

$b_{N_0+k}>a_{N_0+k}-a_{N_0-1}+b_{N_0-1}$

Stąd ciąg $(b_n)\,$ jest rozbieżny do $\infty$, a więc od pewnego miejsca dodatni.

Ponadto od $N_0\,$ jest on rosnący, a więc zgodnie z własnością, że jeżeli ciąg ma granicę niewłaściwą, to ciąg będący jego odwrotnością jest zbieżny i ma granicę równą zero (co łatwo pokazać) mamy:

$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right)=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty} \left(\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}\right)=0$

Teraz korzystając z przypadku I, który został udowodniony mamy, że:

$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=0\ \wedge \frac{a_n}{b_n}>0$

Teraz podobnie korzystając z tego, że jeśli dany jest ciąg o wyrazach dodatnich zbieżny do zera, to wtedy ciąg odwrotności jest rozbieżny do nieskończoności (co również łatwo pokazać) mamy, że:

$\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\infty$

Przykład

Ustalmy $k \in \mathbb{N}$. Niech $a_n = n^{k+1}, b_n = 1^k + 2^k + \cdots + n^k, n\in \mathbb{N}$. Rozważmy ciąg:

$(c_n)_{n \in \mathbb{N}} = \left( \frac{b_n}{a_n} \right)_{n \in \mathbb{N}}$

Zauważmy, że $a_n \xrightarrow[n\to \infty]{} \infty$ oraz $b_n \xrightarrow[n\to \infty]{} \infty$.

Aby obliczyć granicę ciągu $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ skorzystamy z twierdzenia Stolza. Obliczamy:

$\left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right) = \frac{n^k}{n^{k+1} - (n-1)^{k+1}} = \frac{n^k}{n^{k+1} -( n^{k+1} - (k+1)n^k + \dots)} =$

$= \frac{n^k}{(k+1)n^k + \dots} \ \ \xrightarrow[n \to \infty]{} \ \ \frac{1}{k+1}$

Wobec tego

$\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{b_n}{a_n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}\right) = \frac{1}{k+1}$

Zobacz też

• lemat Toepliza
• twierdzenie o dwóch ciągach
• twierdzenie o trzech ciągach
• twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
• reguła de l'Hospitala

Bibliografia

• G. M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 55-56. ISBN 83-01-02175-6.