Równanie różniczkowe Laplace'a

Równanie różniczkowe Laplace'a to równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci:

$\triangle u(x) = 0$

gdzie funkcja $u : \mathcal{U}\subseteq\mathbb{R}^n \to \mathcal{R}^n$ jest klasy $C^2(\mathcal{U})$. Znak $\triangle$ oznacza operator Laplace'a. Dla $n=3$, w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie ma więc postać:

$\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial z^2}u(x,y,z)=0$.

Alternatywne zapisy równania to:

$\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\, u = 0$,

czyli laplasjan jako dywergencja gradientu, a także:

$\nabla^2 u=0$, gdzie $\nabla$ to operator nabla.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Pierre Simon de Laplace'a, który sformułował je w XVIII wieku.

Interpretacja fizyczna

Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace'a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.

Równanie Laplace'a występuje m.in.:

• w elektrostatyce – potencjał elektrostatyczny V pod nieobecność ładunku elektrycznego spełnia równanie Laplace'a,
• w termodynamice – opisuje przepływ statyczny ciepła,
• w mechanice płynów – opisuje przepływ bezwirowy cieczy,
• w elektrodynamice – opisuje przepływ prądu w ośrodkach rozciągłych,
• w mechanice – opisuje odkształcenia membran sprężystych.

Interpretacja matematyczna

Równanie Laplace'a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace'a nazywamy funkcją harmoniczną.

Zobacz też

• laplasjan, dywergencja, nabla,
• równanie różniczkowe Poissona,
• funkcja harmoniczna