Równanie różniczkowe Laplace’a

Równanie różniczkowe Laplace’a to równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci:

$\triangle u(x) = 0,$

gdzie funkcja $u : \mathcal{U}\subseteq\mathbb{R}^n \to \mathcal{R}^n$ jest klasy $C^2(\mathcal{U})$. Znak $\triangle$ oznacza operator Laplace’a. Dla $n=3,$ w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie ma więc postać:

$\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial z^2}u(x,y,z)=0$.

Alternatywne zapisy równania to:

$\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\, u = 0,$

czyli laplasjan jako dywergencja gradientu, a także:

$\nabla^2 u=0,$ gdzie $\nabla$ to operator nabla.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Pierre Simon de Laplace’a, który sformułował je w XVIII wieku.

Interpretacja fizyczna

Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.

Równanie Laplace’a występuje m.in.:

• w elektrostatyce – potencjał elektrostatyczny V pod nieobecność ładunku elektrycznego spełnia równanie Laplace’a,
• w termodynamice – opisuje przepływ statyczny ciepła,
• w mechanice płynów – opisuje przepływ bezwirowy cieczy,
• w elektrodynamice – opisuje przepływ prądu w ośrodkach rozciągłych,
• w mechanice – opisuje odkształcenia membran sprężystych.

Interpretacja matematyczna

Równanie Laplace’a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace’a nazywamy funkcją harmoniczną.

Rozwiązania

Wzór Poissona dla półprzestrzeni

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej $g: \mathbb{R}^{n-1} \rightarrow \mathbb{R}$ rozwiązaniem równania Laplace’a w półprzestrzeni $\mathbb{R}^{n}_{+}=\{ x=(x_1, \ldots, x_n): x_n>0 \}$ spełniającym na brzegu $\partial \mathbb{R}^{n}_{+} = \{x=(x_1, \ldots, x_n): x_n=0 \}$ dla $y\in\mathbb{R}^{n-1}$ warunek $u(y,0) = g(y)$ jest:

$u(x)=\frac{2 x_n}{n \alpha (n)} \int_{\partial \mathbb{R}^{n}_{+}} \frac{g(y)}{|x-(y,0)|^n} dy,$

gdzie $\alpha(n)$ jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Wzór Poissona dla kuli

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej $g: \mathbb{S}^{n-1}(0,r) \rightarrow \mathbb{R}$ rozwiązaniem równania Laplace’a w (hiper-)kuli $K^{n}(0,r)$ spełniającym na (hiper-)sferze $\partial K^{n}(0,r) = S^{n-1}(0,r)$ warunek $u(y) = g(y)$ jest:

$u(x)=\frac{r^2 - |x|^2}{n \alpha (n) r} \int_{S^{n-1}(0,r)} \frac{g(y)}{|x-y|^n} dS(y),$

gdzie $\alpha(n)$ jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Zobacz też

• laplasjan, dywergencja, nabla
• równanie różniczkowe Poissona
• funkcja harmoniczna

Przypisy

Bibliografia

• Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, Warszawa 2002.