Siedemnastokąt foremny
Siedemnastokąt foremny to siedemnastokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych (mają po 180°(17-2)/17 ≈ 158.82°).
Spis treści |
[edytuj] Konstruowalność
Siedemnastokąt foremny można skonstruować cyrklem i linijką. Możliwość konstrukcji udowodnił Carl Friedrich Gauss w 1796[1], pierwszą bezpośrednią konstrukcję przedstawił jednak Erchinger kilka lat później. Składała się aż z 64 kroków, toteż wkrótce zostały przedstawione inne, z których jedną z elegantszych jest konstrukcja podana przez H. W. Richmonda w 1893 roku[2][3]:
Narysuj duży okrąg o środku w punkcie O. Narysuj średnicę UV. Skonstruuj symetralną do tej średnicy, przecinającą okrąg w punkcie A. Znajdź na odcinku OA taki punkt B, by długość OB była równa 1/4 długości OA (dwukrotnie znajdując środek). Narysuj odcinek BV. Znajdź na odcinku OV taki punkt C, by kąt OBC był równy 1/4 kąta OBV (dwukrotnie konstruując dwusieczną). Znajdź na odcinku UO taki punkt D, by kąt DBC był równy połowie kąta prostego. Narysuj okrąg oparty na średnicy DV. Niech E będzie punktem przecięcia tego okręgu z odcinkiem OA. Narysuj okrąg oparty na promieniu CE. Niech F i G będą punktami przecięcia tego okręgu ze średnicą UV. Narysuj odcinki prostopadłe do średnicy UV w punktach F i G. Punkty przecięcia tych odcinków z dużym okręgiem oznaczmy V3 i V5. Punkty V, V3 i V5 są kolejno zerowym, trzecim i piątym wierzchołkiem siedemnastokątu foremnego, pozostałe wierzchołki mogą być łatwo znalezione np. wierzchołek V4 poprzez skonstruowanie dwusiecznej kąta V3 O V5, a pozostałe poprzez odkładanie na okręgu odcinka V3 V4.
[edytuj] Własności
Konstruowalność implikuje, że funkcje trygonometryczne liczby 2π/17 można wyrazić jedynie przez cztery działania arytmetyczne oraz wyciąganie pierwiastka kwadratowego. Książka Gaussa Disquisitiones Arithmeticae zawiera poniższy wzór, przedstawiony tu we współczesnej notacji:
gdzie:
[edytuj] Linki zewnętrzne
- Siedemnastokąt (ang.) na MathWorld
Przypisy
- ↑ Gauss tak był dumny z tego odkrycia, że zażyczył sobie, aby figurę tę wyryto na jego grobie, jednak jego życzenie nie zostało spełnione, ponieważ ze względów technicznych trudno było wykuć siedemnastokąt tak, by widoczne było, że nie jest on kołem. Zamiast tego na grobie Gaussa umieszczono siedemnastoramienną gwiazdę.
- ↑ Richmond, H. W. "A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides." Quart. J. Pure Appl. Math. 26, 206-207, 1893.
- ↑ Constructing the Heptadecagon. [dostęp 24 marca 2009].
