Siedemnastokąt foremny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Siedemnastokąt foremny

Siedemnastokąt foremny to siedemnastokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych (mają po 180°·(17–2)/17≈ 158,82°).

Konstruowalność[edytuj | edytuj kod]

Przykładowa konstrukcja siedemnastokąta foremnego

Siedemnastokąt foremny można skonstruować cyrklem i linijką. Możliwość konstrukcji udowodnił Carl Friedrich Gauss w 1796[1], pierwszą bezpośrednią konstrukcję przedstawił jednak Erchinger kilka lat później. Składała się aż z 64 kroków, toteż wkrótce zostały przedstawione inne, z których jedną z elegantszych jest konstrukcja podana przez Herberta Williama Richmonda w 1893 roku[2][3]:

  1. Narysuj duży okrąg o środku w punkcie O.
  2. Narysuj średnicę UV.
  3. Skonstruuj symetralną tej średnicy, przecinającą okrąg w punkcie A.
  4. Znajdź na odcinku OA taki punkt B, by długość OB była równa ¼ długości OA (dwukrotnie znajdując środek).
  5. Narysuj odcinek BV.
  6. Znajdź na odcinku OV taki punkt C, by kąt ∠OBC był równy ¼ kąta ∠OBV (dwukrotnie konstruując dwusieczną).
  7. Znajdź na odcinku UO taki punkt D, by kąt ∠DBC był równy połowie kąta prostego (miał miarę 45°).
  8. Narysuj okrąg oparty na średnicy DV. Punkt przecięcia tego okręgu z odcinkiem OA oznacz E.
  9. Narysuj okrąg o środku C i promieniu CE. Niech F i G będą punktami przecięcia tego okręgu ze średnicą UV.
  10. Narysuj odcinki prostopadłe do średnicy UV w punktach F i G. Punkty przecięcia tych odcinków z dużym okręgiem oznacz V3 i V5.
  11. Punkty V, V3 i V5 są kolejno zerowym, trzecim i piątym wierzchołkiem siedemnastokąta foremnego, pozostałe wierzchołki mogą być łatwo znalezione, np. wierzchołek V4 poprzez skonstruowanie dwusiecznej kąta ∠V3OV5, a pozostałe poprzez odkładanie na okręgu odcinka V3V4.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Konstruowalność implikuje, że funkcje trygonometryczne liczby 2π/17 można wyrazić jedynie przez cztery działania arytmetyczne oraz wyciąganie pierwiastka kwadratowego. Książka Gaussa Disquisitiones Arithmeticae zawiera poniższy wzór, przedstawiony tu we współczesnej notacji[4]:

\cos\frac{2\pi}{17}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}\sqrt{17}+\frac{1}{16}\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\frac{1}{8}\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Gauss tak był dumny z tego odkrycia, że zażyczył sobie, aby figurę tę wyryto na jego grobie, jednak jego życzenie nie zostało spełnione, ponieważ ze względów technicznych trudno było wykuć siedemnastokąt tak, by widoczne było, że nie jest on kołem. Zamiast tego na grobie Gaussa umieszczono siedemnastoramienną gwiazdę.
  2. Richmond, H. W. "A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides." Quart. J. Pure Appl. Math. 26, 206-207, 1893.
  3. Constructing the Heptadecagon. [dostęp 24 marca 2009].
  4. Nishiyama, Y. "Gauss' Method of Constructing a Regular Heptadecagon".