Siedemnastokąt foremny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Siedemnastokąt foremny

Siedemnastokąt foremny to siedemnastokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych – każdy z nich ma miarę \tfrac{180^{\circ}\cdot(17-2)}{17} \approx 158{,}82^{\circ}.

Konstruowalność[edytuj | edytuj kod]

Siedemnastokąt foremny można skonstruować cyrklem i linijką. Możliwość konstrukcji udowodnił Carl Friedrich Gauss w 1796[1], pierwszą bezpośrednią konstrukcję przedstawił jednak Erchinger kilka lat później – składała się aż z 64 kroków, toteż wkrótce zostały przedstawione inne.

Konstrukcja Richmonda[edytuj | edytuj kod]

Konstrukcja Richmonda

Jedną z elegantszych konstrukcji jest konstrukcja podana przez Herberta Williama Richmonda w 1893 roku[2][3]:

  1. Narysuj duży okrąg o środku w punkcie O.
  2. Narysuj średnicę UV.
  3. Skonstruuj symetralną tej średnicy, przecinającą okrąg w punkcie A.
  4. Znajdź na odcinku OA taki punkt B, by długość OB była równa ¼ długości OA (dwukrotnie znajdując środek).
  5. Narysuj odcinek BV.
  6. Znajdź na odcinku OV taki punkt C, by kąt ∠OBC był równy ¼ kąta ∠OBV (dwukrotnie konstruując dwusieczną).
  7. Znajdź na odcinku UO taki punkt D, by kąt ∠DBC był równy połowie kąta prostego (miał miarę 45°).
  8. Narysuj okrąg oparty na średnicy DV. Punkt przecięcia tego okręgu z odcinkiem OA oznacz E.
  9. Narysuj okrąg o środku C i promieniu CE. Niech F i G będą punktami przecięcia tego okręgu ze średnicą UV.
  10. Narysuj odcinki prostopadłe do średnicy UV w punktach F i G. Punkty przecięcia tych odcinków z dużym okręgiem oznacz V3 i V5.
  11. Punkty V, V3 i V5 są kolejno zerowym, trzecim i piątym wierzchołkiem siedemnastokąta foremnego, pozostałe wierzchołki mogą być łatwo znalezione, np. wierzchołek V4 poprzez skonstruowanie dwusiecznej kąta ∠V3OV5, a pozostałe poprzez odkładanie na okręgu odcinka V3V4.

Okręgi Carlyle'a[edytuj | edytuj kod]

Konstrukcja z wykorzystaniem okręgów Carlyle'a

Inną znaną metodą konstrukcji siedemnastokąta foremnego jest algorytm wykorzystujący okręgi Carlyle'a[4]:

  1. Narysuj okrąg o środku O.
  2. Przez punkt O poprowadź poziomą prostą k, punkty jej przecięcia z okręgiem oznacz Q i P (po lewej i prawej stronie punktu O odpowiednio).
  3. Narysuj symetralną l średnicy QP, punkt jej przecięcia z okręgiem (znajdujący się ponad prostą k) oznacz R.
  4. Narysuj symetralną m promienia QO, jego środek oznacz S.
  5. Zakreśl łuk o środku S przechodzący przez P, jego przecięcie z prostą m (poniżej prostej k) oznacz T.
  6. Narysuj okrąg o środku T przechodzący przez punkt R, punkty jego przecięcia z prostą k oznacz A1 i A0 (po lewej i prawej stronie prostej l odpowiednio).
  7. Znajdź środki odcinków OA0 i OA1 i oznacz je odpowiednio U i V.
  8. Zakreśl łuk o środku U przechodzący przez R, punkt jego przecięcia z prostą k (po prawej stronie prostej l) oznacz B0.
  9. Zakreśl łuk o środku V przechodzący przez R, punkt jego przecięcia z prostą k (po prawej stronie prostej l) oznacz B1.
  10. Znajdź na prostej l taki punkt W (powyżej prostej k), aby |OW| = |QB1|.
  11. Narysuj odcinek WB0, znajdź jego środek i oznacz go X.
  12. Narysuj okrąg o środku X przechodzący przez R, punkt jego przecięcia z prostą k (położony po prawej stronie punktu P) oznacz C0.
  13. Narysuj okrąg o środku C0 i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P1 i P16.
  14. Punkty P16, P i P1 są trzema kolejnymi wierzchołkami siedemnastokąta foremnego – pozostałe wierzchołki znajdujemy poprzez odkładanie odcinka PP1 na wyjściowym okręgu.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Konstruowalność równoważna jest faktowi, że funkcje trygonometryczne kąta 2π/17 można wyrazić jedynie przez cztery działania arytmetyczne oraz wyciąganie pierwiastka kwadratowego. Książka Gaussa Disquisitiones Arithmeticae zawiera poniższy wzór, przedstawiony tu we współczesnej notacji[5]:

\cos\frac{2\pi}{17}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}\sqrt{17}+\frac{1}{16}\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\frac{1}{8}\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Gauss tak był dumny z tego odkrycia, że zażyczył sobie, aby figurę tę wyryto na jego grobie, jednak jego życzenie nie zostało spełnione, ponieważ ze względów technicznych trudno było wykuć siedemnastokąt tak, by widoczne było, że nie jest on kołem. Zamiast tego na grobie Gaussa umieszczono siedemnastoramienną gwiazdę.
  2. Richmond, H. W. "A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides." Quart. J. Pure Appl. Math. 26, 206-207, 1893.
  3. Constructing the Heptadecagon. [dostęp 24 marca 2009].
  4. DeTemple, D. W. "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions".
  5. Nishiyama, Y. "Gauss' Method of Constructing a Regular Heptadecagon".