Trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny
a, b - długości przyprostokątnych,
c - długość przeciwprostokątnej,
α, β - miary kątów ostrych,
h - długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną

Trójkąt prostokątny – trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.

Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5 .

Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych kątów przy przeciwprostokątnej.

Własności geometryczne

• środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym;
• przyprostokątne trójkąta prostokątnego są jego wysokościami;
• symetralne przyprostokątnych są liniami środkowymi;
• środkowa opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne;
• wysokość trójkąta opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Powstałe trójkąty są podobne tak do siebie jak i całego trójkąta.

Związki metryczne

• Boki trójkąta prostokątnego spełniają twierdzenie Pitagorasa;
• Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość ${{ab} \over {c}}$, jest ona zarazem średnią geometryczną długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną spodek wysokości
• Pole powierzchni trójkąta prostokątnego dane jest wzorami:

$S={{\tfrac {1}{2}}{c}\cdot {h}}$

$S={{\tfrac {1}{2}}{a}\cdot {b}}$

$S={{\tfrac {1}{2}}b^{2}\operatorname {tg} \alpha }={{\tfrac {1}{2}}a^{2}\operatorname {tg} \beta }$,

$S={{\tfrac {1}{4}}c^{2}\operatorname {sin} 2\alpha }={{\tfrac {1}{4}}c^{2}\operatorname {sin} 2\beta }$

• Promień okręgu opisanego wyraża się wzorem: $R={{\tfrac {1}{2}}c}$
• Promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem: $r={\frac {a+b-c}{2}}$

Dowód: Zgodnie z wzorem na różnicę kwadratów: $(a+b-c)(a+b+c)=(a+b)^{2}-c^{2}$. Z twierdzenia Pitagorasa wynika: $(a+b)^{2}-c^{2}=2ab$. Zatem z wzorów na pole trójkąta: $S=pr={\frac {1}{2}}ab={\frac {a+b-c}{2}}p$ i $r={\frac {a+b-c}{2}}$.

• Niech $r_{1},r_{2}$ oznaczają promienie okręgów wpisanych w trójkąty, na które dzieli go wysokość. Wówczas zachodzą równości:

$r+r_{1}+r_{2}=h$

Dowód: Z wzoru na promień okręgu wpisanego: $r={\frac {a+b-c}{2}}$, $r_{1}={\frac {y+h-a}{2}}$, $r_{2}={\frac {x+h-b}{2}}$, gdzie $x,y$ to długości odcinków, na które wysokość dzieli $c$. Zatem ($x+y=c$) ${\frac {a+b-c}{2}}+{\frac {y+h-a}{2}}+{\frac {x+h-b}{2}}={\frac {2h}{2}}$.

$r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=r^{2}$

co wynika z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.

• Niech $r_{a},r_{b},r_{c}$ oznaczają promienie okręgów dopisanych. Wówczas są spełnione:

$r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}$

$r_{c}=r+r_{a}+r_{b}$

Bibliografia

Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Wyd. 1 uzupełnione. Toruń: Oficyna Wydawnicza "Tutor", 2003, s. 224-225. ISBN 83-86007-63-X. (pol.).