Równanie różniczkowe Riccatiego

Równanie różniczkowe Riccatiego – typ równania różniczkowego zwyczajnego nieliniowego rzędu pierwszego.

Równanie postaci:

${\frac {dy}{dx}}=p(x)y^{2}+q(x)y+r(x),$

gdzie $p,q,r$ są funkcjami ciągłymi, określonymi na pewnym ustalonym przedziale $(a,b),$ nazywane jest równaniem Riccatiego, od nazwiska włoskiego matematyka, Jacopo Riccatiego.

Przypadki szczególne:

• dla $r(x)\equiv 0$ równanie sprowadza się do równania różniczkowego Bernoulliego,
• dla $p(x)\equiv 0$ równanie sprowadza się do równania liniowego.

Można wykazać, że przez każdy punkt obszaru $(a,b)\times \mathbb {R}$ przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa. Dowodzi to, że całkowanie równania Riccatiego na ogół nie daje się sprowadzić do kwadratur. Znając jednak pewne rozwiązanie szczególne $y_{1}$ równania Riccatiego można sprowadzić je poprzez podstawienie:

$y=y_{1}+{\frac {1}{z}}$

do równania liniowego. Istotnie, po wstawieniu otrzymuje się:

$y_{1}'-{\frac {z'}{z^{2}}}=p(x)y_{1}^{2}+q(x)y_{1}+r(x)+{\frac {2p(x)y_{1}}{z}}+{\frac {p(x)}{z^{2}}}+{\frac {q(x)}{z}},$

skąd wobec równości:

$y_{1}'=p(x)y_{1}^{2}+q(x)y_{1}+r(x)$

otrzymuje się równanie różniczkowe liniowe:

$z'+(2p(x)y_{1}+q(x))z=-p(x).$

Do równania Riccatiego można sprowadzić równanie liniowe drugiego rzędu podstawieniem

$y(x)=e^{\int u(x)dx}.$

Równanie Riccatiego można sprowadzić do równania liniowego drugiego rzędu podstawieniem

$u(x)=e^{-\int p(x)y(x)dx}.$

Zobacz też

• algebraiczne równanie Riccatiego
• równanie różniczkowe Clairauta
• równanie różniczkowe zupełne

Bibliografia

• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976, s. 464.