Pochodna Diniego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pochodne Diniego – klasa uogólnień zwykłej pochodnej.

Definicja formalna[edytuj]

Górna pochodna Diniego, nazywana też górną pochodną prawostronną[1], funkcji ciągłej oznaczana symbolem jest zdefiniowana jako

gdzie oznacza granicę górną. Dolna pochodna Diniego, oznaczana jest zdefiniowana wzorem

gdzie jest granicą dolną.

Jeżeli jest określona na przestrzeni liniowej, to górną pochodną Diniego w punkcie w kierunku definiuje się wzorem

Jeżeli jest lokalnie lipschitzowska, to jest skończona. Jeśli jest różniczkowalna w to pochodna Diniego w pokrywa się ze zwykłą pochodną w tym punkcie.

Uwagi[edytuj]

Czasem, zamiast stosuje się odpowiednio zapisy [1]. Ponadto

oraz

W ten sposób w notacji z znak (minus/plus) mówi o tym, czy brana jest granica lewo-, czy prawostronna, zaś jego położenie mówi o jej rodzaju (dolna/górna). Każda z pochodnych Diniego zawsze istnieje w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych; mogą jednak czasem przyjmować wartości lub (tzn. pochodne Diniego zawsze istnieją w sensie rozszerzonym).

Przypisy

  1. a b H.K. Khalil: Nonlinear Systems. Wyd. III. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2002. ISBN 0-13-067389-7.

Bibliografia[edytuj]

  • T.P. Lukashenko: Dini derivative (ang.). 2001.
  • H.L. Royden: Real analysis. Wyd. II. MacMillan, 1968. ISBN 0-02-40150-5.

Ten artykuł zawiera materiał z artykułu Pochodna Diniego na PlanetMath, który został udostępniony na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License.