Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcja pierwsza omega, funkcja omega (ang. Omega prime function) – jedna z dwóch funkcji arytmetycznych zliczających dzielniki pierwsze danej liczby naturalnej. Pierwsza z nich, czyli
ω
{\displaystyle \omega }
zlicza dzielniki pierwsze bez wielokrotności, a druga, czyli
Ω
{\displaystyle \Omega }
zlicza je wraz z wielokrotnościami[1] .
Jeśli
n
=
p
1
e
1
p
2
e
2
⋅
…
⋅
p
k
e
k
{\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}}}
jest rozkładem liczby
n
{\displaystyle n}
na czynniki pierwsze, to
ω
(
n
)
=
ω
(
p
1
e
1
p
2
e
2
⋅
…
⋅
p
k
e
k
)
=
k
{\displaystyle \omega (n)=\omega (p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}})=k}
oraz
Ω
(
n
)
=
Ω
(
p
1
e
1
p
2
e
2
⋅
…
⋅
p
k
e
k
)
=
e
1
+
e
2
+
…
+
e
k
.
{\displaystyle \Omega (n)=\Omega (p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}})=e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{k}.}
Dla
n
=
1
{\displaystyle n=1}
przyjmujemy
ω
(
n
)
=
Ω
(
n
)
=
1.
{\displaystyle \omega (n)=\Omega (n)=1.}
Funkcja
ω
{\displaystyle \omega }
jest addytywna , a
Ω
{\displaystyle \Omega }
jest całkowicie addytywna .
Pierwszą funkcję można zdefiniować jako
ω
(
n
)
=
∑
p
|
n
1
,
{\displaystyle \omega (n)=\sum _{p|n}1,}
tzn. sumowanie 1 po wszystkich dzielnikach pierwszych
n
,
{\displaystyle n,}
a drugą
Ω
(
n
)
=
∑
p
α
|
n
1
=
∑
p
α
|
|
n
α
,
{\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }|n}1=\sum _{p^{\alpha }||n}\alpha ,}
gdzie zapis
p
α
|
|
n
{\displaystyle p^{\alpha }||n}
oznacza, że
p
α
|
n
,
{\displaystyle p^{\alpha }|n,}
ale
p
α
+
1
∤
n
.
{\displaystyle p^{\alpha +1}\not \mid n.}
W ogólności zachodzi nierówność
Ω
(
n
)
⩾
ω
(
n
)
,
{\displaystyle \Omega (n)\geqslant \omega (n),}
przy czym
Ω
(
n
)
=
ω
(
n
)
{\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)}
wtedy i tylko wtedy, gdy
n
{\displaystyle n}
jest liczbą bezkwadratową .
Powiązanie z innymi funkcjami arytmetycznymi [ edytuj | edytuj kod ]
Za pomocą funkcji
Ω
{\displaystyle \Omega }
można zdefiniować funkcje Liouville’a i Möbiusa .
Dla każdej liczby naturalnej
n
{\displaystyle n}
zachodzi
λ
(
n
)
=
(
−
1
)
Ω
(
n
)
{\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}
i dla każdej
n
{\displaystyle n}
bezkwadratowej zachodzi
μ
(
n
)
=
(
−
1
)
Ω
(
n
)
.
{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}
pojęcia definiujące ciągi ogólne
ciągi liczbowe
typy ciągów przykłady ciągów liczb naturalnych inne przykłady ciągów liczb
twierdzenia powiązane pojęcia