Lok Agnesi

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Krzywa zwana lokiem Agnesi była badana przez Guido Grandiego, który, opisując ją, używał włoskiego wyrazu versorio, co znaczy „mający możliwość ruchu w dowolnym kierunku”. Funkcjonuje też druga nazwa czarownica Agnesi. To określenie jest być może wynikiem błędnego tłumaczenia – w połowie XVIII wieku Maria Agnesi błędnie myślała, że Grandi używał włoskiego słowa versiera, oznaczającego „żona diabła” lub „czarownica[potrzebne źródło].

Aby skonstruować krzywą:

  1. Wykreśl okrąg o środku w punkcie (0,a) i o promieniu a>0.
  2. Z początku układu współrzędnych poprowadź prostą przecinającą w punkcie P ten okrąg.
  3. Znajdź punkt przecięcia Q tej prostej z prostą o równaniu y=2a.
  4. Znajdź punkt przecięcia prostej pionowej przechodzącej przez Q i prostej poziomej przechodzącej przez P.
  5. Otrzymany punkt M leży na krzywej zwanej czarownicą.
Witch of Agnesi-construction.png

Niech t oznacza kąt pomiędzy osią pionową i prostą przechodzącą przez punkty (0,0), P i Q; gdzie a>0 to promień okręgu.

Krzywą możemy opisać równaniem

y=\frac{8a^3}{4a^2+x^2} dla x \in \mathbb{R}

lub parametrycznie

\alpha (t)=(2a \cdot\operatorname{tg}t, 2a\cdot \cos^2 t).

Wykres ma asymptotę o równaniu

y=0,

maksimum w punkcie :

(0,2a),

promień krzywizny w tym punkcie wynosi

r=\frac{a}{2}.

Pole powierzchni ograniczonej wykresem i asymptotą krzywej jest równe

S=4\pi\cdot a^2.

Lok Agnesi jest szczególnym przypadkiem krzywej Breita-Wignera, opisywanej równaniem

y=\frac{a}{b^2+(x-c)^2} dla a>0.