Lok Agnesi

Lok Agnesi

Inaczej wersjera; krzywa zwana lokiem Agnesi była badana przez Guido Grandiego, który, opisując ją, używał włoskiego wyrazu versorio, co znaczy „mający możliwość ruchu w dowolnym kierunku”. Funkcjonuje też druga nazwa czarownica Agnesi. To określenie jest być może wynikiem błędnego tłumaczenia – w połowie XVIII wieku Maria Agnesi błędnie myślała, że Grandi używał włoskiego słowa versiera, oznaczającego „żona diabła” lub „czarownica”.

Aby skonstruować krzywą:

1. Wykreśl okrąg o środku w punkcie $(0,a)$ i o promieniu $a>0.$
2. Z początku układu współrzędnych poprowadź prostą przecinającą w punkcie $P$ ten okrąg.
3. Znajdź punkt przecięcia $Q$ tej prostej z prostą o równaniu $y=2a.$
4. Znajdź punkt przecięcia prostej pionowej przechodzącej przez $Q$ i prostej poziomej przechodzącej przez $P.$
5. Otrzymany punkt $M$ leży na krzywej zwanej czarownicą.

Niech t oznacza kąt pomiędzy osią pionową i prostą przechodzącą przez punkty $(0,0),$ $P$ i $Q;$ gdzie $a>0$ to promień okręgu.

Wzory

Krzywą możemy opisać równaniem

$y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}$ dla $x\in \mathbb {R}$

lub parametrycznie

$\alpha (t)=(2a\cdot \operatorname {tg} t,2a\cdot \cos ^{2}t).$

Wykres ma asymptotę o równaniu

$y=0,$

maksimum w punkcie:

$(0,2a),$

promień krzywizny w tym punkcie wynosi

$r={\frac {a}{2}}.$

Pole powierzchni ograniczonej wykresem i asymptotą krzywej jest równe

$S=4\pi \cdot a^{2}.$

Lok Agnesi jest szczególnym przypadkiem krzywej Breita-Wignera, opisywanej równaniem

$y={\frac {a}{b^{2}+(x-c)^{2}}}$ dla $a>0.$