Pierwiastek sześcienny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pierwiastek sześcienny - w arytmetyce dla danej liczby \scriptstyle a każda liczba \scriptstyle x, której trzecia potęga \scriptstyle x^3 (tzw. sześcian, czyli jej trzykrotny iloczyn przez siebie, \scriptstyle x \cdot x \cdot x) jest równa danej liczbie \scriptstyle a;. Zwykle oznacza się je jako \scriptstyle \sqrt[3]{a}, gdzie \scriptstyle \sqrt[3]{\,\,} jest symbolem pierwiastka sześciennego. Liczba a nazywana jest liczbą podpierwiastkową.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Pierwiastkiem sześciennym z zera jest zero. Jest to jedyny pierwiastek sześcienny z zera.
  • Liczba \scriptstyle 2 jest pierwiastkiem sześciennym z \scriptstyle 8, ponieważ \scriptstyle 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8;.
  • Nie każda liczba całkowita ma całkowity pierwiastek. Na przykład \scriptstyle \sqrt[3]{2} jest liczbą niewymierną.
  • Pierwiastek sześcienny z liczby naturalnej jest liczbą naturalną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba pierwiastkowana jest sześcianem liczby naturalnej[1]. W twierdzeniu tym liczby naturalne można zastąpić liczbami całkowitymi.
  • Pierwiastek sześcienny z liczby wymiernej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest sześcianem liczby wymiernej.
Wykres funkcji y = \sqrt[3]{x} dla 0 ≤ x ≤ 10.
  • Dla każdej liczby rzeczywistej x istnieje dokładnie jeden rzeczywisty pierwiastek sześcienny z x. Wynika to z tego, że funkcja
f(x) = x^3\; dla x \in \mathbb{R}
jest ciągłą funkcją rosnącą oraz
\lim_{x \to \infty} x^3 = \infty i
\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty.
Z wartości granic na podstawie twierdzenia Darboux wynika wtedy, że funkcja ta przekształca zbiór \mathbb{R} liczb rzeczywistych na \mathbb{R}, a z monotoniczności wynika jej różnowartościowość. Dlatego dla każdej liczby a \in \mathbb{R} istnieje dokładnie jedna liczba b = f^{-1}(a) \in \mathbb{R}. Liczba b jest pierwiastkiem sześciennym z a.

Tożsamości związane z pierwiastkiem sześciennym[edytuj | edytuj kod]

Z definicji pierwiastka sześciennego wynika, że

\sqrt[3]{x}=x^{{1}/{3}\;}

skąd wynikają następujące równości:

\sqrt[3] {x^m} = \left(\sqrt[3] x\right)^m = \left(x^{1/3}\right)^m = x^{m/3}.

Dla wszystkich liczb rzeczywistych \scriptstyle x zachodzi wzór

\begin{align}
 & \left( \sqrt[3]{x} \right)^{3}=x \\ 
 & \left( x^{{1}/{3}\;} \right)^{3}=x^{{3}/{3}\;}=x \\ 
\end{align}

Pierwiastek sześcienny z liczby przeciwnej można obliczyć następująco:

\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}\,

Jeżeli x, y\; są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi to:

  • \sqrt[3]{xy} = \sqrt[3] x \sqrt[3] y,
  • \sqrt[3]{x/y} = \frac{\sqrt[3] x}{\sqrt[3] y} dla y \ne 0.

Tożsamości dla sumy i różnicy pierwiastków sześciennych:

  • \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a+b+3\sqrt[3]{a^{2}b}+3\sqrt[3]{ab^{2}}} = \frac{a + b}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}
  • \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a-b-3\sqrt[3]{a^{2}b}+3\sqrt[3]{ab^{2}}}

Obliczanie pierwiastka sześciennego[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z zależności

\frac{1}{3} = \frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots[2]

można zastosować następujący algorytm obliczania pierwiastka sześciennego dysponując kalkulatorem kieszonkowym wyposażonym w klawisz do wyznaczania pierwiastka kwadratowego i mnożenia, rozpoczynając go po uzyskaniu na wyświetlaczu liczby z której chcemy obliczyć pierwiastek sześcienny.

  • Naciśnij jeden raz klawisz pierwiastkowania.
  • Naciśnij klawisz mnożenia.
  • Naciśnij dwa razy klawisz pierwiastkowania.
  • Naciśnij klawisz mnożenia.
  • Naciśnij cztery razy klawisz pierwiastkowania.
  • Naciśnij klawisz mnożenia.
  • Naciśnij osiem razy klawisz pierwiastkowania.
  • Naciśnij klawisz mnożenia...

Proces należy kontynuować, aż liczba przestanie się zmieniać po naciśnięciu klawisza mnożenia, ponieważ powtarzana operacja pierwiastkowania wynosi 1 (co oznacza, że rozwiązanie zostało osiągnięte z największą dokładnością jaką ten kalkulator mógł osiągnąć). A następnie:

  • Naciśnij ostatni raz klawisz pierwiastkowania.

W tym momencie na wyświetlaczu pojawi się przybliżona wartość pierwiastka sześciennego.

Objaśnienie metody[edytuj | edytuj kod]

Podnosząc x do potęgi po obu stronach tożsamości powyżej otrzymujemy:

x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \cdots}. (*)

Z lewej strony równania mamy pierwiastek sześcienny z x.

W kolejnych krokach algorytmu powyżej otrzymujemy:

Po drugim kroku:

x^{\frac{1}{2}}

Po czwartym kroku:

x^{\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2^2})}

Po szóstym kroku:

x^{\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2^2}) (1 + \frac{1}{2^4})}

Po ósmym kroku:

x^{\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2^2}) (1 + \frac{1}{2^4}) (1 + \frac{1}{2^8})}

itd.

Po przeliczeniu niezbędnych wyrażeń zależnych od dokładności kalkulatora, ostatni pierwiastek kwadratowy określa prawą stronę równania (*).

Metoda alternatywna[edytuj | edytuj kod]

Powyższa metoda wymaga aby kalkulator był wyposażony w funkcję pierwiastka kwadratowego. Dysponując prostą metodą obliczania pierwiastka kwadratowego następujące wyrażenie jest szybko zbieżne do wyniku:

x_{i+1} = \tfrac{4}{3}\sqrt[4]{a x_{i}} - \tfrac{1}{3}x_i.

Gdzie z każdą iteracją wynik jest zbieżny do pierwiastka sześciennego z a.

Ta metoda wymaga mniej iteracji niż metoda Halley'a ale wymaga więcej obliczeń, ukrytych w wyznaczeniu pierwiastków kwadratowych. Z uwagi na szybką zbieżność, początkowe przybliżenie wartością 1 jest wystarczające.

Przykładowe wartości[edytuj | edytuj kod]

\sqrt[3]{1} =\, 1 \sqrt[3]{11} \approx 2,2239800905 6931552116 53633...
\sqrt[3]{2} \approx 1,2599210498 9487316476 72106... \sqrt[3]{12} \approx 2,2894284851 0666373561 60844...
\sqrt[3]{3} \approx 1,4422495703 0740838232 16383... \sqrt[3]{13} \approx 2,3513346877 2075748950 00163...
\sqrt[3]{4} \approx 1,5874010519 6819947475 17056... \sqrt[3]{14} \approx 2,4101422641 7522998612 83696...
\sqrt[3]{5} \approx 1,7099759466 7669698935 31088... \sqrt[3]{15} \approx 2,4662120743 3047010149 16113...
\sqrt[3]{6} \approx 1,8171205928 3213965889 12117... \sqrt[3]{16} \approx 2,5198420997 8974632953 44212...
\sqrt[3]{7} \approx 1,9129311827 7238910119 91168... \sqrt[3]{17} \approx 2,5712815906 5823535545 31872...
\sqrt[3]{8} =\, 2 \sqrt[3]{18} \approx 2,6207413942 0889660714 16612...
\sqrt[3]{9} \approx 2,0800838230 5190411453 00568... \sqrt[3]{19} \approx 2,6684016487 2194486733 96273...
\sqrt[3]{10} \approx 2,1544346900 3188372175 92935... \sqrt[3]{20} \approx 2,7144176165 9490657151 80894...

Liczby zespolone[edytuj | edytuj kod]

Pierwiastki sześcienne z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Dla każdej różnej od 0 liczby zespolonej z istnieją dokładnie trzy liczby w takie, że w3 = z: będące pierwiastkami sześciennymi z liczby z. Wynika to z algebraicznej domkniętości ciała liczb zespolonych, z której wynika, że wielomian w^3 - z = 0 zmiennej zespolonej w ma dla każdego ustalonego z dokładnie trzy rozwiązania.

W szczególności pierwiastek sześcienny z 1 to:

\sqrt[3]{1} = \begin{cases} e^{i\frac{2\pi}{3} \cdot 0} = \ \ \,1 \\ e^{i\frac{2\pi}{3} \cdot 1} = -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}i \\ e^{i\frac{2\pi}{3} \cdot 2} = -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}i = e^{-i\frac{2\pi}{3}}.\end{cases}

Dwa ostatnie rozwiązania prowadzą do zależności pomiędzy wszystkimi pierwiastkami sześciennymi z ustalonej liczby zespolonej z. Jeśli dana liczba jest pierwiastkiem sześciennym z z, to pozostałe dwa pierwiastki można wyznaczyć, mnożąc je odpowiednio przez dwa zespolone pierwiastki sześcienne z jedności.

Aby znaleźć wszystkie pierwiastki sześcienne z liczby rzeczywistej x, oznaczone odpowiednio z_0, z_1 i z_2, obliczamy:

z_0 = \sqrt[3]x,
z_1 = \tfrac{-1 + i\sqrt 3}{2}\sqrt[3]x = e^{i\frac{2\pi}{3}} \sqrt[3]{x},
z_2 = \tfrac{-1 - i\sqrt 3}{2}\sqrt[3]x = e^{-i\frac{2\pi}{3}} \sqrt[3]{x}.

Pierwiastek sześcienny na powierzchni Riemanna[edytuj | edytuj kod]

Część powierzchni Riemanna odpowiadającej funkcji w = z^{1/3}

Funkcja w = z^{1/3} może dla każdej wartości z formalnie przyjąć trzy wartości zespolone. Nie byłaby wtedy jednak funkcją. Dlatego buduje się za pomocą przedłużenia analitycznego powierzchnię Riemanna, na której można określić pierwiastek sześcienny jako funkcję. Powierzchnię tę można sobie wyobrazić jako trzy egzemplarze płaszczyzny zespolonej z usuniętym punktem 0 rozcięte wzdłuż półprostych wychodzących z punktu 0 i połączone z sobą tak, jak jest to pokazane na rysunku.

Pierwiastek sześcienny w algebrze[edytuj | edytuj kod]

Z algebraicznego punktu widzenia pierwiastkiem sześciennym jest dowolne rozwiązanie równania \scriptstyle x^3 - a = 0 zmiennej \scriptstyle x (czyli pierwiastek wielomianu \scriptstyle x^3 - a ). Równania takie można rozpatrywać nad dowolnym pierścieniem przemiennym.


Historia[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: podwojenie sześcianu.

W 499 n.e Aryabhata opisał metodę znajdowania pierwiastków sześciennych z liczb wielocyfrowych w swoim dziele Aryabhatiya (rozdział 2.5).[3]


Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Wyd. 4. Warszawa: PWN, 1968, s. 244.
  2. Dowód tożsamości
    Aby obliczyć prawą stronę tożsamości należy wyznaczyć wartość iloczynu nieskończonego
    \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots = 
\left(1 + \frac{1}{4^1}\right) \left(1 + \frac{1}{4^2}\right) \left(1 + \frac{1}{4^4}\right) \left(1 + \frac{1}{4^8}\right) \dots
    podstawiamy \begin{matrix}\frac{1}{4}\end{matrix} = q i uzyskujemy
    (1 + q) (1 + q^2) (1 + q^4) (1 + q^8) \dots
    Przeliczamy rekurencyjnie kolejne iloczyny:
    (1 + q + q^2 + q^3) (1 + q^4) (1 + q^8) \dots = (1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6 + q^7) (1 + q^8) \dots = \sum\limits_{i=0}^{\infty} 1 \cdot q^i
    W wyniku uzyskujemu nieskończony szereg geometryczny, który jest zbieżny (|q|<1), zaś jego sumę obliczamy
    \sum_{n=0}^\infty a_0 q^n = \frac{a_0}{1-q}  = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}
    Po uwzględnieniu pierwszego czynnika w zadanej tożsamości otrzymujemy
    \frac{1}{2^2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3}
    Q.e.d.
  3. Aryabhatiya (marathi), Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.62, ISBN 978-81-7434-480-9

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]


Bibliografia[edytuj | edytuj kod]