Funkcje elementarne

Funkcje elementarne – funkcje, które powstają z funkcji, takich jak: funkcja stała, identyczność $i(x)=x$, funkcje trygonometryczne i logarytm, za pomocą skończonej liczby operacji, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie oraz złożenie.

Definicja

Zbiór $E$ wszystkich funkcji elementarnych konstruowany jest w następujący rekurencyjny sposób:

Niech $E_0$ będzie zbiorem złożonym z następujących funkcji:

• funkcji stałych postaci $f_c(x)=c$, gdzie c jest liczbą rzeczywistą (w niektórych ujęciach liczbą zespoloną)
• identyczności $i(x)=x$
• funkcji trygonometrycznych
• funkcji odwrotnych do trygonometrycznych
• logarytmu

Jest to zbiór 'cegiełek', z których budowane są inne - bardziej skomplikowane - funkcje.

Niech $O$ będzie zbiorem operacji dwuargumentowych (tzn. funkcji dwóch zmiennych) w zbiorze liczb rzeczywistych (w niektórych ujęciach zespolonych), do którego należy:

• dodawanie $o_+(x,y)=x+y$
• odejmowanie $o_{-}(x,y)=x-y$
• mnożenie $o_\cdot(x,y)=xy$
• dzielenie $o_{/}(x,y)=\frac{x}{y}$
• potęgowanie $o_{exp}(x,y)=x^y$

Jest to zbiór 'metod układania cegiełek' ze zbioru $E_0$.

Zbiorem $E$ funkcji elementarnych nazywa się najmniejszy zbiór funkcji spełniający następujące warunki:

• $E_0\subset E$
• Jeśli $f,g\in E$ oraz $o\in O$, to funkcja $x\mapsto o(f(x),g(x))$ również należy do $E$.
• Jeśli $f,g\in E$, to złożenie $f\circ g$ również należy do $E$.

Powyższa definicja jest poprawna, to znaczy istnieje (i to dokładnie jeden) najmniejszy zbiór $E$ spełniający powyższe warunki. Konstruuje się go rekurencyjnie:

Zbiór $E_0$ zdefiniowany jest powyżej. Mając zdefiniowane zbiory $E_0,E_1,\ldots,E_n$, zbiór $E_{n+1}$ definiuje się jako zbiór wszystkich funkcji jednej z postaci:

• $x\mapsto o(f(x),g(x))$, gdzie $f,g\in E_n$ oraz $o\in O$,
• $f\circ g$, gdzie $f,g\in E_n$

Zbiór $E$ definiuje się jako sumę zbiorów $E_i$, $i=0,1,2,\ldots$.

Przykłady

Funkcjami elementarnymi są między innymi:

• wielomiany
• funkcje wymierne
• funkcje niewymierne
• funkcje hiperboliczne

oraz ich złożenia. Zatem funkcja $\frac{\ln(x+\sin(\cos x))}{\arctan(e^{\sinh x})}$ jest funkcją elementarną.

Przykładami funkcji, nie będących funkcjami elementarnymi, są:

• dystrybuanta rozkładu normalnego

$\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^x e^{-\frac{t^2}{2}}dt$

• całka eliptyczna pierwszego rodzaju

$\int \sqrt{1-x^4}dx$

Uwagi

Zbiór funkcji przyjmowany w pierwszym kroku rekurencji (to znaczy zbiór $E_0$) mógłby być nieco węższy, np. wystarczy sinus, aby odtworzyć wszystkie pozostałe funkcje trygonometryczne. Nie ma to znaczenia z punktu widzenia klasyfikacji funkcji jako elementarnych - w ten sposób zdefiniowany zbiór $E$ byłby taki sam.

Dla różnych zastosowań wprowadza się pewne modyfikacje definicji zamieszczonej powyżej. W szczególności zmianie ulega zbiór $E_0$ oraz $O$. Niektórzy dopuszczają na przykład operację brania funkcji odwrotnej do funkcji już utworzonej (o ile jest to możliwe). Niekiedy dodaje się wartość bezwzględną do funkcji elementarnych. Niektórzy odrzucają operację potęgowania ze składu operacji $O$.

Ponadto rozważa się funkcje elementarne w zbiorze liczb rzeczywistych lub zespolonych.

W teorii obliczeń stosuje się też jeszcze inne definicje funkcji elementarnych, w których na przykład dziedziną są liczby naturalne.

Zobacz też

• funkcje algebraiczne
• funkcje specjalne