Funkcje elementarne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje elementarnefunkcje, które powstają z funkcji, takich jak: funkcja stała, identyczność i(x)=x, funkcje trygonometryczne i logarytm, za pomocą skończonej liczby operacji, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie oraz złożenie.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Zbiór E wszystkich funkcji elementarnych konstruowany jest w następujący rekurencyjny sposób:

Niech E_0 będzie zbiorem złożonym z następujących funkcji:

Jest to zbiór 'cegiełek', z których budowane są inne - bardziej skomplikowane - funkcje.

Niech O będzie zbiorem operacji dwuargumentowych (tzn. funkcji dwóch zmiennych) w zbiorze liczb rzeczywistych (w niektórych ujęciach zespolonych), do którego należy:

  • dodawanie o_+(x,y)=x+y
  • odejmowanie o_{-}(x,y)=x-y
  • mnożenie o_\cdot(x,y)=xy
  • dzielenie o_{/}(x,y)=\frac{x}{y}
  • potęgowanie o_{exp}(x,y)=x^y

Jest to zbiór 'metod układania cegiełek' ze zbioru E_0.

Zbiorem E funkcji elementarnych nazywa się najmniejszy zbiór funkcji spełniający następujące warunki:

  • E_0\subset E
  • Jeśli f,g\in E oraz o\in O, to funkcja x\mapsto o(f(x),g(x)) również należy do E.
  • Jeśli f,g\in E, to złożenie f\circ g również należy do E.

Powyższa definicja jest poprawna, to znaczy istnieje (i to dokładnie jeden) najmniejszy zbiór E spełniający powyższe warunki. Konstruuje się go rekurencyjnie:

Zbiór E_0 zdefiniowany jest powyżej. Mając zdefiniowane zbiory E_0,E_1,\ldots,E_n, zbiór E_{n+1} definiuje się jako zbiór wszystkich funkcji jednej z postaci:

  • x\mapsto o(f(x),g(x)), gdzie f,g\in E_n oraz o\in O,
  • f\circ g, gdzie f,g\in E_n

Zbiór E definiuje się jako sumę zbiorów E_i, i=0,1,2,\ldots.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Funkcjami elementarnymi są między innymi:

oraz ich złożenia. Zatem funkcja \frac{\ln(x+\sin(\cos x))}{\arctan(e^{\sinh x})} jest funkcją elementarną.

Przykładami funkcji, nie będących funkcjami elementarnymi, są:

\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^x e^{-\frac{t^2}{2}}dt
\int \sqrt{1-x^4}dx

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Zbiór funkcji przyjmowany w pierwszym kroku rekurencji (to znaczy zbiór E_0) mógłby być nieco węższy, np. wystarczy sinus, aby odtworzyć wszystkie pozostałe funkcje trygonometryczne. Nie ma to znaczenia z punktu widzenia klasyfikacji funkcji jako elementarnych - w ten sposób zdefiniowany zbiór E byłby taki sam.

Dla różnych zastosowań wprowadza się pewne modyfikacje definicji zamieszczonej powyżej. W szczególności zmianie ulega zbiór E_0 oraz O. Niektórzy dopuszczają na przykład operację brania funkcji odwrotnej do funkcji już utworzonej (o ile jest to możliwe). Niekiedy dodaje się wartość bezwzględną do funkcji elementarnych. Niektórzy odrzucają operację potęgowania ze składu operacji O.

Ponadto rozważa się funkcje elementarne w zbiorze liczb rzeczywistych lub zespolonych.

W teorii obliczeń stosuje się też jeszcze inne definicje funkcji elementarnych, w których na przykład dziedziną są liczby naturalne.[1]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Zobacz np. [1]