Operator Laplace’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Operator Laplace'a)
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Operator Laplace'a (laplasjan)operator różniczkowy drugiego rzędu, szczególnie ważny element klasy operatorów eliptycznych. Jego nazwa pochodzi od nazwiska Pierre'a Simona de Laplace'a.

Znajduje on wiele zastosowań w modelach fizycznych, pojawiając się na przykład w równaniu przewodnictwa cieplnego, propagacji fal, równaniu Helmholtza. W mechanice kwantowej występuje jako część hamiltonianu oraz jako przestrzenna składowa operatora d'Alemberta. W probabilistyce laplasjan jest generatorem ruchu Browna. Operator ten w działaniu na funkcję skalarną f można zdefiniować za pomocą operatorów gradientu i dywergencji w tej kolejności


\triangle f = \operatorname{div}\ \overline{\operatorname{grad}}\ f

a w działaniu na funkcję wektorową \bar{F} w jego definicji występuje dodatkowo operator rotacji


\triangle \bar{F} = \overline{\operatorname{grad}}\ \operatorname{div}\ \bar{F} - \overline{\operatorname{rot}}\ \overline{\operatorname{rot}}\ \bar{F}

Dla funkcji skalarnej operator Laplace'a w układzie kartezjańskim ma postać:


\triangle = \nabla^2 = \frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}} + ...+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{n}^{2}}

a w dowolnym n-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych:


\triangle = \frac{1}{h_{1}...h_{n}}  \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial}{\partial q_{i}}\frac{h_{1}...h_{n}}{h_{i}^{2}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\right)

gdzie:

qi – i-ta współrzędna

hiwspółczynniki Lamego, hi = ( gii )1/2

gii to diagonalne wyrazy tensora metrycznego.

Wzór ten dla n=3 w sferycznym układzie współrzędnych przyjmuje postać:


\triangle=\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r}
+\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}
\right)
=
\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r
+\frac{1}{r^2}\left(\operatorname{ctg}\theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}
\right)

Wyprowadzenie
Współrzędne sferyczne (r,\varphi,\theta) są związane z współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:


\left \{
\begin{matrix}
x = r\sin \theta \cos \varphi \\
y = r\sin \theta \sin \varphi \\
z = r\cos \theta
\end{matrix}
\right .

Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:

g_{ij} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^{2} & 0 \\
0 & 0 & r^{2} \sin^{2} \theta
\end{bmatrix}

Zatem współczynniki Lamego są następujące:

\left \{
\begin{matrix}
h_1 = 1 \\
h_2 = r \\
h_3 = r \sin \theta 
\end{matrix}
\right .

Wstawiając teraz otrzymane współczynniki do wzoru na laplasjan w dowolnym, n-wymiarowym, krzywoliniowym układzie współrzędnych dla n = 3, oraz różniczkując otrzymujemy szukany wzór:


\triangle=\frac{1}{r^2 \sin \theta}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^2 \sin \theta \frac{\partial}{\partial r}
+\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}
+\frac{\partial}{\partial \varphi}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}
\right)
=
\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r
+\frac{1}{r^2}\left(\operatorname{ctg}\theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}
\right)


Analogiczne rozważanie dla układu współrzędnych walcowych prowadzi do wzoru:

 \Delta  
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial  \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2  \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2  \over \partial z^2 }.


Dla funkcji wektorowej \bar{F} działanie operatora Laplace'a w układzie kartezjańskim wyraża się przez zdefiniowany wyżej operator Laplace'a skalarnych współrzędnych tej funkcji wektorowej:


\triangle \bar{F} = \sum _{k=1} ^{n}(\triangle F_{k} ) \hat{e}_{k}

a w innych układach współrzędnych jego działanie wyraża się bardziej złożonym wzorem.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]