Przejdź do zawartości

Różnica zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Różnica zbiorów i oznaczona kolorem fioletowym.

Różnica zbiorów i podzbiór zbioru złożony z tych elementów, które nie należą do oznaczany ukośnikiem wstecznym[1][2][3], niekiedy także minusem: [4][5][6]. Formalnie[4][5][6]:

co jest równoważne

[2][3],

gdzie jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[7][8] lub uniwersum[9].

Za pomocą różnicy zbiorów można zdefiniować dwie inne operacje: różnicę symetryczną i dopełnienie zbioru.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]
  • Niech będzie zbiorem liczb wymiernych, a niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych. Wówczas jest zbiorem liczb niewymiernych[4]
  • Jeżeli a to

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Ogólne

[edytuj | edytuj kod]

Różnica zbiorów:

  • nie jest przemienna – w ogólności
  • nie jest łączna – w ogólności przykładowo
  • ma jeden idempotent:
  • ma prawostronny element neutralny:
  • ma lewostronny element absorbujący:

Związki z inkluzją

[edytuj | edytuj kod]

jest podzbiorem (czyli zbiór zawiera się w ) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica jest zbiorem pustym:

Z inkluzji dwóch par zbiorów można wywnioskować inkluzję pewnych różnic[10][11]:

Definicja przekroju

[edytuj | edytuj kod]
Diagram Venna przedstawiający prawostronną rozdzielność różnicy zbiorów względem ich sumy:

Za pomocą różnicy można zdefiniować także przekrój (część wspólną) zbiorów:

[12].
  • Dowód:

Prawa rozdzielności

[edytuj | edytuj kod]

Różnica zbiorów jest prawostronnie rozdzielna względem sumy zbiorów[13]:

Iloczyn kartezjański jest rozdzielny względem różnicy zbiorów[14]:

Prawa De Morgana i dualności

[edytuj | edytuj kod]
Ilustracja praw De Morgana dla różnicy zbiorów.

Różnica zbiorów nie jest rozdzielna lewostronnie względem sumy ani przekroju zbiorów, ale zachodzą podobne równości, zaliczane do praw De Morgana[10][11]:

W teorii zbiorów i jej zastosowaniach ważną rolę odgrywa tak zwana zasada dualności[15], która jest oparta na dwóch następujących tożsamościach:

  • Dopełnienie sumy zbiorów jest równe iloczynowi ich dopełnień:
  • Dopełnienie iloczynu zbiorów jest równe sumie ich dopełnień:

Zasada dualności w teorii mnogości polega na tym, że z dowolnej równości, dotyczącej podzbiorów ustalonego zbioru można całkiem automatycznie uzyskać równość dualną, zastępując wszystkie zbiory ich dopełnieniami, sumy – iloczynami, a iloczyny – sumami.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]