Notacja Diraca

Notacja Diraca (nawiasy Diraca, notacja bra-ket) – wprowadzony w 1939 przez Paula Diraca do mechaniki kwantowej, sposób zapisywania działania form liniowych na stany kwantowe.

• tzw. ket, zapisywany "$|v\rangle$", oznacza wektor $v$ w zespolonej przestrzeni liniowej $V$ (zwykle przestrzeni Hilberta); fizyczna interpretacja to stan kwantowy pewnego układu.

• tzw. bra, zapisywane "$\langle f|$", oznacza funkcjonał liniowy $f\colon V\to \mathbb {C}$ na przestrzeni (gdy $V$ jest przestrzenią Hilberta, zapis ten oznacza zwykle ciągły funkcjonał liniowy).

Działanie funkcjonału $\langle f|$ na wektorze $|v\rangle$ zapisywane jest jako $\langle f|v\rangle$.

Nazwy te biorą się z oznaczania iloczynu skalarnego dwóch stanów za pomocą nawiasu $\langle \phi |\psi \rangle .$ Po angielsku nawias to bracket, i stąd lewa i prawa część nawiasu to odpowiednio bra i ket. Notacja Diraca inspirowana była notacją używaną przez Grassmanna w operacjach na iloczynie skalarnym $[\phi |\psi ]$ prawie 100 lat wcześniej.

Przestrzeń wektorowa

Wstęp

Aby lepiej wyobrazić sobie, czym jest notacja Diraca, dobrze jest rozpatrzyć wektor ${\vec {A}}$ w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej rozpiętej nad ciałem liczb rzeczywistych, co zapiszemy: ${\vec {A}}\in V={\mathcal {L}}(\mathbb {R} )\ :\ \mathrm {dim} V=3.$

Wektor ${\vec {A}}$ może być zapisany jako liniowa kombinacja wektorów bazowych:

${\begin{aligned}{\vec {A}}=A_{1}{\vec {e}}_{1}+A_{2}{\vec {e}}_{2}+A_{3}{\vec {e}}_{3}={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

gdzie wektory ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}$ są liniowo niezależne (a więc tworzą bazę), a liczby $A_{1},A_{2},A_{3}$ to odpowiadające im współrzędne.

W ogólności kiedy wektor ${\vec {A}}$ znajduje się w N-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem $\mathbb {F}$ (gdzie $\mathbb {F}$ to np. $\mathbb {R}$ lub $\mathbb {C}$), wektor ${\vec {A}}$ jest nadal kombinacją liniową wektorów bazowych:

${\vec {A}}=\sum _{n=1}^{N}A_{n}{\vec {e}}_{n}={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}.$

Jednak ${\vec {A}}$ może być wektorem w zespolonej przestrzeni Hilberta, a taka przestrzeń może mieć nieskończoną liczbę wymiarów. Wtedy w reprezentacji macierzowej byłoby nieskończenie wiele współrzędnych zespolonych. Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń $L_{2}$.

Notacja ket

Zamiast używać standardowych symboli, notacja Diraca używa dla wektorów pionowych kresek i trójkątnych nawiasów: $|A\rangle .$ Tak zapisane wektory nazywają się ket, a czytane jako ket-A. Można zapisać rozważany poprzednio wektor jako

$|A\rangle =A_{1}|e_{1}\rangle +A_{2}|e_{2}\rangle +A_{3}|e_{3}\rangle ={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}},$

co można zapisać w skrócie

$|A\rangle =A_{1}|1\rangle +A_{2}|2\rangle +A_{3}|3\rangle ,$

gdzie $|1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle$ oznaczają odpowiednio wektory jednostkowe ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}.$

Iloczyn skalarny i notacja ket

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba zespolona. Notacja Diraca posiada specjalny zapis dla iloczynu skalarnego

$\langle A|B\rangle ={\text{iloczyn skalarny bra }}\langle A|{\text{ z ket }}|B\rangle .$

W trójwymiarowej przestrzeni zespolonej z półtoraliniowym iloczynem skalarnym (jak przestrzeń $\{|\psi \rangle \}$)

$\langle A|B\rangle =A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+A_{3}^{*}B_{3},$

gdzie $A_{i}^{*}$ oznacza sprzężenie zespolone. W przypadku, gdy ${\vec {A}}={\vec {B}},$ iloczyn skalarny jest kwadratem długości tego wektora

$\langle A|A\rangle =|A_{1}|^{2}+|A_{2}|^{2}+|A_{3}|^{2}.$

W notacji Diraca iloczyn skalarny można podzielić na dwie części, „bra” i „ket”

$\langle A|B\rangle =\left(\,\langle A|\,\right)\,\,\left(\,|B\rangle \,\right),$

gdzie $\langle A|$ nazywane jest bra i czytane jako bra-A, a $|B\rangle$ to ket.

Powodem, dla którego dzielimy iloczyn skalarny na bra i ket, jest to, iż obydwa obiekty mają swój własny sens i mogą być użyte w innym kontekście niż w iloczynie skalarnym. Można o nich myśleć na dwa sposoby.

Bra i kety jako macierze

Dla przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, używając ustalonych wektorów jednostkowych, iloczyn skalarnych można zapisać jako mnożenie macierzy postaci

$\langle A|B\rangle =A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}.$

Na tej podstawie można zdefiniować bra jako:

$\langle A|={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}.$

Sprzężenie hermitowskie bra to odpowiadające mu ket i vice versa:

$\langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|,$

ponieważ jeśli zastosuje się sprzężenie zespolone i transpozycje macierzy, to z:

${\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}},$

otrzyma się:

${\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}.$

Bra jako operator liniowy na ket

Równoważną definicją jest przyjęcie, że bra jest funkcjonałem linowym na ket, czyli operatorem, który z ket produkuje liczbę zespoloną.

Inaczej mówiąc, przestrzeń wektorowa bra jest przestrzenią dualną do przestrzeni wektorowej ket, a odpowiadające sobie ket i bra są w relacji według twierdzenia Riesza.

Zastosowanie w mechanice kwantowej

Aparat matematyczny mechaniki kwantowej w dużej części bazuje na algebrze liniowej:

• Funkcje falowe i stany kwantowe mogą być przedstawione jako wektory w zespolonej przestrzeni Hilberta. (Szczególna struktura tej przestrzeni zależy od wybranej sytuacji). Przykładowym stwierdzeniem wykorzystującym notację Diraca mogłoby być „Elektron znajduje się w stanie $|\psi \rangle$”. (Technicznie stany kwantowe są kierunkami wektorów w przestrzeni Hilberta; oznacza to, że stan c $|\psi \rangle$ odnosi się do tego samego stanu dla każdego zespolonego c).
• Superpozycje stanów kwantowych mogą być opisane jako suma wektorów stanów składowych. Przykładowo stan elektronu $|1\rangle +i|2\rangle$ jest superpozycją stanów $|1\rangle$ i $|2\rangle .$
• Pomiary w mechanice kwantowej są związane z operatorami liniowymi (zwanych obserwablami) w przestrzeni Hilberta stanów kwantowych.
• Normalizacja funkcji falowej ustala jej normę na 1.

Praktycznie wszystkie obliczenia w mechanice kwantowej zawierają wektory i operatory liniowe, dlatego można do nich wykorzystywać notację bra-ket. Pokazują to następujące przykłady:

Oznaczenia w notacji Diraca

• wektory bazowe oznacza się: $|n\rangle ,$ gdzie $n=0,1,2,\dots$
• wektory bazowe sprzężone hermitowsko: $(|n\rangle )^{+}=\langle n|$ oraz $(\langle n|)^{+}=|n\rangle ,$
• iloczyn skalarny wektorów z bazy ortonormalnej ${\hat {S}}^{+}=(|0\rangle ,|1\rangle )^{+}$ i wektorów z bazy ${\hat {S}}=(|0\rangle ,|1\rangle ){:}$

$\langle 0|0\rangle =\langle 1|1\rangle =1,$

$\langle 0|1\rangle =\langle 1|0\rangle =0,$

• iloczyn tensorowy wektorów bazowych:

$|m\rangle |n\rangle =|mn\rangle ,$

$|m\rangle \langle n|,$

• iloczyn zewnętrzny wektorów bazowych:

$|m\rangle \wedge |n\rangle =-|n\rangle \wedge |m\rangle ,$

$\langle m|\wedge \langle n|=-\langle n|\wedge \langle m|,$

• sprzężenie hermitowskie iloczynu tensorowego:

$(|mn\rangle )^{+}=\langle mn|=\langle n|\langle m|,$

$(|m\rangle \langle n|)^{+}=|n\rangle \langle m|,$

• wektor o współrzędnych $(v_{0},v_{1})$ zapisany w bazie ${\hat {S}}^{+}=(|0\rangle ,|1\rangle )^{+}{:}$

$\langle v|=v_{0}\langle 0|+v_{1}\langle 1|,$

• Inne wektory bazowe można oznaczyć $|n'\rangle ,$ na przykład:

$|0'\rangle =|0\rangle ,$

$|1'\rangle =|0\rangle +q|1\rangle ,$

$\langle 0'|=\langle 0|,$

$\langle 1'|=\langle 0|+q^{*}\langle 1|,$

• Operatory (macierze) oznacza się ${\hat {A}},$ na przykład operator jednostkowy:

${\hat {1}}=|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|,$

• Operator rzutowy ${\hat {P}}{:}$

${\hat {P}}{\hat {1}}=|0\rangle \langle 0|(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)=|0\rangle \langle 0|.$

Linki zewnętrzne

• Notacja Diraca
• J.H. Przytycki, Płaszczyzna kwantowa i q-wielomian drzew z korzeniem, arxiv.org/1512.03080.