Twierdzenie Laxa-Milgrama

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Laxa–Milgramatwierdzenie analizy funkcjonalnej dowiedzione w 1954 roku przez Petera Laxa i Arthura Milgrama, które uogólnia twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału określonego na przestrzeni Hilberta.

Twierdzenie to, wraz z uogólnieniami zebranymi w osobnej sekcji, znalazło zastosowanie w teorii równań różniczkowych cząstkowych, gdzie dając warunki „odwracalności” funkcjonału dwuliniowego, umożliwia wykazanie istnienia i jednoznaczności słabych rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych (z różnymi zagadnieniami brzegowymi), zob. Zastosowania i Przykłady.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią Hilberta nad ciałem liczb zespolonych (bądź liczb rzeczywistych) z iloczynem skalarnym indukującym normę zaś będzie funkcjonałem półtoraliniowym (bądź dwuliniowym) na tej przestrzeni, który spełnia dla pewnych skalarów oraz dowolnych wektorów warunki:

  • ograniczoności,
  • koercywności lub eliptyczności,

Wówczas każdy ograniczony funkcjonał liniowy jest postaci

gdzie jest jednoznacznie wyznaczonym przez elementem

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Z ograniczoności i eliptyczności wynika, że jest ograniczonym funkcjonałem liniowym, który z twierdzenia Riesza można zapisać w postaci

dla pewnego przy czym element ten jest wyznaczony jednoznacznie przez zatem może być traktowany jako funkcja zmiennej więcej, z powyższego wzoru wynika, że zależność ta jest liniowa, co oznacza, że zbiór elementów wskazanych w tym wzorze przy ustalonym tworzy przestrzeń liniową.

Zdefiniowana wyżej podprzestrzeń jest domknięta. Otóż przyjmując otrzymuje się

co przy zastosowaniu eliptyczności do lewej, a nierówności Schwarza do prawej strony tej równości i podzieleniu jej przez daje oszacowanie

Niech będzie ciągiem wyznaczanym przez zaś będzie ciągiem odpowiadającym poprzedniemu poprzez wzór

wtedy odejmowanie i półtoraliniowość (dwuliniowość) dają co przy podanym wyżej oszacowaniu daje, iż skąd zbieżność pociąga, że jest ciągiem Cauchy’ego; zupełność daje zbieżność Ograniczoność zapewnia o zbieżności zaś nierówność Schwarza prowadzi do zbieżności (tzw. słabej zbieżności ), która dowodzi już domkniętości wspomnianej podprzestrzeni.

Opisana wyżej domknięta podprzestrzeń to cała przestrzeń gdyż w przeciwnym razie z twierdzenia o zbiorze wypukłym wynikałoby istnienie niezerowego wektora ortogonalnego do wszystkich Z postaci można by wnosić, że taki spełniałby dla wszystkich Jednakże przyjęcie pociągałoby które wraz z eliptycznością dałoby pozostające w sprzeczności z

Ostatecznie twierdzenie Riesza mówi, że wszystkie funkcjonały mogą być przedstawione jako gdzie co w połączeniu z postacią daje tezę, przy czym jednoznaczność wynika z eliptyczności.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: przestrzeń sprzężona.

W 1971 roku Ivo Babuška podał następujące uogólnienie wyniku Laxa i Milgrama, w którym zrezygnował on wymagania, by funkcjonał dwuliniowy określony był na wspólnej przestrzeni.

Twierdzenie Babuški–Laxa–Milgrama
Niech oraz będą dwiema rzeczywistymi przestrzeniami Hilberta, a będzie ciągłym przekształceniem dwuliniowym, które jest ponadto
  • „słabo koercywne”: dla pewnej stałej i wszystkich zachodzi
oraz dla niezerowego i pewnej stałej spełnia
Wówczas dla wszystkich istnieje jednoznacznie wyznaczone rozwiązanie słabego sformułowania (zob. Zastosowania)
Więcej, rozwiązanie to zależy w sposób ciągły od danych, tzn.

Inne uogólnienie twierdzenia Laxa-Milgrama pochodzi od Jacques’a-Louisa Lions.

Twierdzenie Lions–Laxa–Milgrama
Niech będzie przestrzenią Hilberta, oznacza przestrzeń unormowaną, zaś będzie ciągłym przekształceniem dwuliniowym. Wówczas następujące warunki są równoważne:
  • „słaba koercywność”: dla pewnego skalara zachodzi
  • „słaba odwracalność”: dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego istnieje taki element dla którego zachodzi

Powyższe twierdzenie stosuje się zwykle pod postacią następującej obserwacji, której założenia pojawiają się dość często i są względnie łatwe do sprawdzenia w zastosowaniach praktycznych.

Wniosek
Niech będzie zanurzona w sposób ciągły w jeśli jest
  • -eliptyczna, czyli dla pewnego i wszystkich zachodzi
  • koercywna, dla pewnego i każdego jest
to spełniony jest warunek „słabej koercywności” twierdzenia Lions–Laxa–Milgrama (skąd wynika istnienie „słabej odwrotności”)

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Na pytanie o istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych istnieje odpowiedź w postaci twierdzenia Picarda-Lindelöfa; jego odpowiednik dla równań różniczkowych cząstkowych, twierdzenie Cauchy’ego-Kowalewskiej, mówi z kolei, że zagadnienie Cauchy’ego dowolnego równania różniczkowego cząstkowego o współczynnikach analitycznych względem poszukiwanej funkcji i jej pochodnych ma lokalnie jednoznaczne rozwiązanie analityczne. Choć wynik ten zdaje się rozwiązywać problem istnienia i jednoznaczności rozwiązań, to istnieją jednak przykłady liniowych równań różniczkowych cząstkowych o współczynnikach mających pochodne wszystkich rzędów (choć nieanalitycznych), które mimo tego nie mają rozwiązań. Jeśli nawet rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego istnieje i jest jednoznaczne, to może ono mieć niepożądane własności[a]; jeżeli równanie inspirowane było naukami przyrodniczymi, to może nie mieć ono przez to satysfakcjonującego w nich zastosowania.

Właściwą odpowiedzią na bolączki teorii klasycznej okazało się osłabienie niektórych jej założeń. Jednym z najważniejszych sposobów jest przyzwolenie na to, że rozwiązania nie muszą być dobrze określonymi funkcjami w klasycznym sensie, lecz mogą być słabymi rozwiązaniami względem pewnych wektorów lub funkcji testowych (tzn. dystrybucjami. Zwykle należą one do pewnej przestrzeni Sobolewa), a przy tym nie muszą być wcale różniczkowalne – z punktu widzenia zastosowań brak tego wymogu jest bardzo pożądany, gdyż w modelowaniu zjawisk świata rzeczywistego nieustannie napotyka się równania, które nie mają dostatecznie gładkich rozwiązań. Wówczas wygodnie jest udowodnić najpierw istnienie słabych rozwiązań, a dopiero potem wykazać ich wystarczającą gładkość.

Niech będzie przestrzenią Banacha; należy znaleźć rozwiązanie równania

gdzie oraz jest funkcjonałem liniowym na czyli elementem przestrzeni sprzężonej Opierając się na metodach rachunku wariacyjnego powyższe zagadnienie można przedstawić jako poszukiwanie takiego że dla wszystkich zachodzi

przy czym element nazywa się wektorem testowym lub funkcją testową (gdy jest przestrzenią funkcji). Powyższe równanie można przedstawić w ogólnej postaci słabego sformułowania: znalezienia które spełniałoby dla wszystkich równanie

poprzez zadanie funkcjonału dwuliniowego wzorem Konkretne przykłady można znaleźć w kolejnej sekcji.

Osiągnięciem Laxa i Milgrama było wskazanie warunków wystarczających na to, by dane zagadnienie w słabych sformułowaniu miało jednoznaczne rozwiązanie zależące w sposób ciągły od danych : otóż wystarczy by było przestrzenią Hilberta, a funkcjonał (będący często pewną modyfikacją iloczynu skalarnego) na niej określony był ograniczony, czyli ciągły, i koercywny; tezę twierdzenia uzupełnia się niekiedy o oszacowanie normy rozwiązania równania mianowicie (pojawia się ono jako wiersz dowodu). Wkładem Babuški było przyjęcie, iż jest parowaniem między przestrzeniami Hilberta (słabe rozwiązania i wektory testowe), podczas gdy Lions zakłada, iż parowanie ma miejsce między przestrzeniami Hilberta (słabe rozwiązania) i unormowaną (wektory testowe).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Układ równań liniowych

Użycie twierdzenia Laxa–Milgrama w tym wypadku jest „strzelaniem z armaty do wróbla”, jednak przykład ten umożliwia wgląd w bardziej skomplikowane przypadki. Niech będzie przestrzenią unitarną (tj. przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym), a będzie przekształceniem liniowym opisującym układ równań liniowych. Rozwiązanie równania w słabym sformułowaniu polega na poszukiwaniu takiego że dla wszystkich spełnione jest równanie

gdzie oznacza standardowy iloczyn skalarny (będący funkcjonałem dwuliniowym). Ponieważ jest przekształceniem liniowym, to do testowania wystarczające są wektory bazowe (zob. twierdzenie), skąd otrzymuje się

Korzystając z zapisu macierzowego wektory i oraz przekształcenie można przedstawić w postaci macierzy, odpowiednio i oraz gdzie zaś daje to następującą macierzową postać problemu Związany z tym słabym sformułowaniem funkcjonał dwuliniowy dany jest wzorem

gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny macierzy (zdefiniowany kolejną równością), zaś oznacza transponowanie macierzy.

Ograniczoność powyższego funkcjonału dwuliniowego wynika ze skończonego wymiaru przestrzeni w rzeczywistości Z kolei koercywność oznacza w istocie, że części rzeczywiste wartości własnych nie są mniejsze od w szczególności żadna wartość własna nie jest zerem, skąd układ jest rozwiązalny. Ponadto otrzymuje się oszacowanie gdzie jest najmniejszą częścią rzeczywistą wartości własnej

Równanie Poissona
 Zobacz też: równanie Poissona.

Poszukiwane będą rozwiązania równania Poissona,

na dziedzinie dla której na jej brzegu; przestrzeń rozwiązań zostanie dookreślona w dalszej kolejności. Do wyprowadzenia słabego sformułowania wykorzystany zostanie iloczyn skalarny przestrzeni Lebesgue’a

dany za pomocą całki Lebesgue’a po zbiorze względem miary Lebesgue’a testowanie odbywać się będzie za pomocą funkcji różniczkowalnych dzięki czemu słabe sformułowanie przyjmuje postać

Lewą stronę tego równania można uczynić bardziej symetryczną korzystając z całkowania przez części w oparciu o tożsamość Greena,

Powyższe równanie nazywa się zwykle słabym sformułowaniem równania Poissona; jedyne czego brakuje to przestrzeń Wskazanie jej jest nieco kłopotliwe i dlatego zostanie ono tutaj pominięte: z pewnością musi ona nadawać sens temu równaniu, dlatego od pochodnych funkcji w tej przestrzeni powinno wymagać się całkowalności z kwadratem; własności te ma np. przestrzeń Sobolewa funkcji o słabych pochodnych w (przestrzeń jest podprzestrzenią liniową ) ze wskazanymi warunkami brzegowymi (tj. na brzegu ). Standardową postać słabego sformułowania otrzymuje się przyjmując

oraz

Przy powyższej propozycji wyboru norma na tej przestrzeni zadana jest wzorem gdzie norma po prawej stronie jest normą na (o poprawności tego wzoru zapewnia nierówność Poincarégo). Ponieważ i z nierówności Cauchy’ego-Schwarza wynika, że to dla każdego istnieje jednoznacznie wyznaczone rozwiązanie równania Poissona, które spełnia

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Przykładem może być ciąg zagadnień Cauchy’ego (zależny od ) równania Laplace’a z warunkami brzegowymi oraz dla całkowitego Pochodna funkcji względem zbiega jednostajnie do wraz ze wzrostem jednak rozwiązanie zbiega do nieskończoności, jeśli nie jest całkowitą wielokrotnością dla dowolnej niezerowej wartości czyli nie zależy w sposób ciągły od danych zagadnienia.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2