Twierdzenie Steinitza o wymianie – twierdzenie algebry liniowej mówiące, że dowolny układ wektorów liniowo niezależnych skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej można dopełnić do bazy tej przestrzeni wektorami wybranymi ze z góry zadanej bazy. Twierdzenie nazwane imieniem matematyka, Ernsta Steinitza.
Niech
rozpina przestrzeń liniową
oraz niech
będzie układem wektorów należących do
który jest liniowo niezależny. Wówczas:
![{\displaystyle s\leqslant n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53aaf92f5f9fe9868784a453446fc177eb5a23e)
- Spośród wektorów
można wybrać taki podzbiór
złożony z
wektorów, które wraz z wektorami
tworzą bazę ![{\displaystyle V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2661a49b86bd1a5548e527bbfb068aa9f59978)
Ustalmy
Dowód przebiega indukcyjnie ze względu na
Dla
jest zbiorem pustym, więc wystarczy wziąć
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich takich zbiorów
że
Pokażemy prawdziwość twierdzenia dla
Ustalmy zbiór
będący liniowo niezależnym układem wektorów należących do V. Niech
oraz
Z założenia indukcyjnego wynika, że
oraz istnieje taki zbiór
że
oraz
Aby uprościć zapis, przyjmijmy, że
Wówczas
![{\displaystyle \langle X'_{1}\cup Y_{1}\rangle =\langle v_{1},\dots ,v_{n-s+1},w_{1},\dots ,w_{s-1}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8c158de5e91af0da6d1d6553ab0dbbb90d12131)
Ponieważ
i
więc
![{\displaystyle w_{s}=\alpha _{1}v_{1}+\ldots +\alpha _{n-s+1}v_{n-s+1}+\beta _{1}w_{1}+\ldots \beta _{s-1}w_{s-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3fb7177d6763b7da84d71d126fbf4d99df0d18)
dla pewnych
Zauważmy, że istnieje takie
że
gdyż w przeciwnym razie mielibyśmy
co przeczyłoby liniowej niezależności
Bez straty ogólności, załóżmy, że
Wówczas
![{\displaystyle v_{n-s+1}=\alpha _{n-s+1}^{-1}(w_{s}-\alpha _{1}v_{1}-\ldots -\alpha _{n-s}v_{n-s}-\beta _{1}w_{1}-\ldots \beta _{s-1}w_{s-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd26ca99eff862965cb73bfd60a8d8a3e3933905)
Stąd
gdyż dla każdego
istnieją takie
że
![{\displaystyle v=\alpha _{1}'v_{1}+\ldots +\alpha _{n-s+1}'v_{n-s+1}+\beta _{1}'w_{1}+\ldots \beta _{s-1}'w_{s-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad390086fdf9927a9fb0ef0f82c1ef02bdecd3d)
- a podstawiając pod
z poprzedniej równości odpowiednią kombinację liniową otrzymujemy, że istnieją takie
że
![{\displaystyle v=\alpha _{1}''v_{1}+\ldots +\alpha _{n-s}''v_{n-s}+\beta _{1}''w_{1}+\ldots \beta _{s}''w_{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4d46fd36a712e13648e0ea57aaf8f12b493c3c)
Wystarczy wziąć
Wówczas
Zauważmy, że
W przeciwnym razie, tj. gdyby
zbiór
byłby pusty, więc
skąd
co przeczyłoby liniowej niezależności
Skoro
<
to
Wektory i działania na nich |
|
---|
Układy wektorów i ich macierze |
|
---|
Wyznaczniki i miara układu wektorów |
|
---|
Przestrzenie liniowe |
|
---|
Iloczyny skalarne |
|
---|
Pojęcia zaawansowane |
|
---|
Pozostałe pojęcia |
|
---|
Powiązane dyscypliny |
|
---|
Znani uczeni |
|
---|