Twierdzenie Steinitza o wymianie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Steinitza o wymianie – twierdzenie algebry liniowej mówiące, że dowolny układ wektorów liniowo niezależnych skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej można dopełnić do bazy tej przestrzeni wektorami wybranymi ze z góry zadanej bazy. Twierdzenie nazwane imieniem matematyka, Ernsta Steinitza.

Twierdzenie[edytuj]

Niech będzie bazą przestrzeni liniowej oraz niech będzie układem wektorów, który jest liniowo niezależny. Wówczas:

  1. Spośród wektorów można wybrać taki podzbiór złożony z wektorów, które wraz z wektorami tworzą bazę .

Dowód[edytuj]

Ustalmy . Dowód przebiega indukcyjnie ze względu na .

Dla , jest zbiorem pustym, więc wystarczy wziąć .

Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich takich zbiorów , że . Pokażemy prawdziwość twierdzenia dla .

Ustalmy zbiór . Niech oraz . Z założenia indukcyjnego wynika, że oraz istnieje taki zbiór , że oraz . Aby uprościć zapis, przyjmijmy, że .

Wówczas

.

Stąd

dla pewnych .

Zauważmy, że istnieje takie , że , gdyż w przeciwnym razie mielibyśmy , co przeczyłoby liniowej niezależności . Bez straty ogólności, załóżmy, że .

Wówczas

.

Stąd , gdyż dla każdego istnieją takie , że

.

Wystarczy wziąć . Wówczas .

Zauważmy, że . W przeciwnym razie, tj. gdyby , zbiór byłby pusty, więc , skąd , co przeczyłoby liniowej niezależności . Skoro < to .