Zagadnienie Cauchy’ego

Zagadnienie Cauchy’ego, zagadnienie początkowe, problem Cauchy'ego – zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy. W przypadku równania rzędu pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcji. W przypadku równania rzędu drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższych rzędów.

Przykład

Rozważmy następujące zagadnienie początkowe:

${\begin{cases}y'={\frac {y}{x^{2}+1}},\\[2pt]y\left({\frac {\pi }{4}}\right)=e^{3}.\end{cases}}$

na początku należy rozwiązać równanie różniczkowe. Stosując algorytm postępowania z równaniem o zmiennych rozdzielonych możemy łatwo obliczyć, że funkcją spełniającą równanie jest:

$y=e^{\operatorname {arctg} x+C}.$

Wówczas rozwiązanie zagadnienia początkowego sprowadza się do obliczenia wartości stałej $C,$ więc:

$e^{3}=e^{\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}+C},$

$3=\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}+C,$

$C=3-\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}.$

Czyli rozwiązaniem zagadnienia jest funkcja:

$y=e^{\operatorname {arctg} x+3-\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}}.$

Bibliografia

• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Wyd. 27. T. 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14296-4.