Analityczna teoria liczb

Wartości funkcji $\zeta$ przedstawione za pomocą techniki kolorowania dziedziny

Analityczna teoria liczb w matematyce jest częścią teorii liczb zajmującą się zastosowaniami metod analizy matematycznej w celu rozwiązania problemów dotyczących liczb całkowitych.

Głównymi obiektami (lub narzędziami) badań analitycznej teorii liczb są funkcja zeta Riemanna oraz, zdefiniowane jako o ogólniejsza klasa, funkcje L Dirichleta (lub jeszcze ogólniej – funkcje L). Za prekursora tej dziedziny postrzegany jest Peter Gustav Lejeune Dirichlet, który w 1837 r. udowodnił twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych.

Historia

Prehistoria – Euler i Riemann

Pierwsze badania skupione były na analizie zachowania funkcji liczącej liczby pierwsze $\pi (x).$ Rozumiemy przez nią liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych $x$ (np. $\pi (10)=4,$ bo liczbami pierwszymi w przedziale $[1,10]$ są 2,3,5,7). O nieskończoności liczb pierwszych wiedziano już od Euklidesa, ale asymptotyka czy nierówności opisujące wielkości funkcji $\pi (x)$ pozostawały nieznane. W XVIII w. Carl Friedrich Gauss i Adrien-Marie Legendre postawili (niezależnie od siebie) hipotezę mówiącą, że

$\pi (x)\approx {\frac {x}{\log x}}$

jest właściwym przybliżeniem (przez $\log x$ rozumiemy logarytm naturalny z $x$).

Pierwszym znaczącym krokiem w tej materii były, na pozór niepowiązane z liczbami pierwszymi, prace Leonharda Eulera poświęcone szeregom potęg odwrotności liczb naturalnych (w tym problemowi bazylejskiemu), a dokładniej – dowód słuszności iloczynu Eulera.

Niech $s>1$ będzie liczbą rzeczywistą. Rozważmy (zbieżny) szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\ldots$

Zamiast rozważać sumę po wszystkich liczbach naturalnych, możemy sumować tylko liczby niebędące wielokrotnościami 2. Aby to osiągnąć zauważmy, że szereg

${\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\ldots$

sumuje wyłącznie wielokrotności 2, więc szereg

$\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\ldots$

jest tym, którego poszukiwaliśmy. Postępując analogicznie, z powyższego szeregu możemy wyeliminować wszystkie wielokrotności liczby 3. Zauważmy, że szereg

${\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+\ldots$

zawiera wyłącznie liczby będące wielokrotnościami 3 i niebędące wielokrotnościami 2, zatem szereg

$\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\ldots$

nie zawiera żadnych wielokrotności liczby 2 ani liczby 3. Kontynuując ten proces dla wszystkich liczb pierwszych, otrzymamy

$\left(\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}=1.$

Równoważnie, możemy stwierdzić, że

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}$

na całym obszarze $\Re (s)>1$, czyli w którym szereg definiujący funkcję zeta jest zbieżny. Powyższa równość stała się punktem wyjścia dla Bernharda Riemanna. W swojej słynnej pracy z 1859 r. zdefiniował funkcję zeta jako

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

dla $s$ zespolonych, przy $\Re (s)>1,$ a następnie przedłużył analitycznie definicję na całą płaszczyznę zespoloną. W ten sposób, definiując $\pi _{0}(x)$ jako $\pi (x)-1/2$ dla $x$ będącego liczbą pierwszą lub $\pi (x)$ w każdym innym wypadku, Riemann był w stanie uzyskać dokładny wzór

$\pi _{0}(x)=R(x)-\sum _{\rho }R(x^{\rho }),$

gdzie:

$R(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}{\text{li}}\left(x^{1/n}\right)$

dla funkcji Möbiusa $\mu$ i logarytmu całkowego ${\text{li}},$ przy czym ${\textstyle \sum _{\rho }}$ oznacza sumę po wszystkich nietrywialnych miejscach zerowych funkcji zeta ($s_{0}$ takich, że $0<\Re (s_{0})<1$).

Od tego momentu funkcję $\pi (x)$ rozważano przede wszystkim z wykorzystaniem funkcji zeta.

Twierdzenie o liczbach pierwszych – Hadamard i Poussin

W 1896 r. Jacques Hadamard i Charles Jean de la Vallée Poussin udowodnili, niezależnie od siebie, że funkcja zeta nie ma miejsc zerowych na półprostej $\Re (s)=1,$ $\Im (s)>0.$ Odkrycie to pozwoliło im udowodnić treść twierdzenia o liczbach pierwszych, tzn.

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}=1.$

Oba dowody oparte były na pomysłach prezentowanych przez Riemanna oraz twierdzeniach analizy zespolonej.

Liczby pierwsze w ciągach arytmetycznych – Dirichlet

Peter Gustav Lejeune Dirichlet uznawany jest za ojca analitycznej teorii liczb. Jako pierwszy udowodnił, że jeśli $(a,q)=1,$ to ciąg arytmetyczny $a+qn$ $(n=0,1,2,\dots )$ zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód Dirichleta oparty był na analizie funkcji L, zdefiniowanych jako

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},$

gdzie $s$ jest liczbą zespoloną, a $\chi (n)$ jest charakterem Dirichleta mod $q,$ zdefiniowanym jako

$\chi (n)={\begin{cases}\exp \left({\frac {2\pi ikn}{\varphi (q)}}\right),\quad &(n,q)=1,\\0,\quad &(n,q)>1\end{cases}}$

dla pewnego $k\in \{0,1,\dots ,\varphi (q)-1\}.$ Dirichlet był w stanie wykazać, że wartość $L(s,\chi )$ w $s=1$ jest niezerowa, co stanowiło najważniejszą część dowodu.

Metoda łuków – Hardy i Littlewood

Metoda łuków Hardy'ego-Littlewooda (lub Hardy’ego-Ramanujana-Littlewooda) powstała jako nowa metoda analizy problemów addytywnych poprzez odpowiednią analizę funkcji generujących. Oryginalnie, ta strategia rozumowania była rozwijana przez Godfrey’a Hardy’ego, Srinivasę Ramanujana i Johna Littlewooda w kontekście problemu Waringa. Ich prace rozważały szereg potęgowy

$F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{k}},$

gdzie $k$ jest potęgą liczb rozważanych w problemie. Jeśli przez $r_{s}(n)$ oznaczymy liczbę sposobów na przedstawienie $n$ jako $s$ liczb będącymi $k-$tymi potęgami, widzimy, że

$F(x)^{s}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{k}}\right)^{s}=\sum _{n=1}^{\infty }r_{s}(n)x^{n}.$

Niech $\gamma$ będzie dodatnio zorientowanym okręgiem o środku 0 i promieniu $r<1$. Wówczas

$r_{s}(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {F(x)^{s}}{x^{n+1}}}dx.$

Metoda Hardy'ego-Littlewooda opierała się na odpowiednim szacowaniu powyższej całki, w taki sposób, by pokazać, kiedy $r_{s}(n)>0$.

Modyfikacja metody - Winogradow

Iwan Winogradow zmodyfikował podejście Hardy'ego, Ramanujana i Littlewooda, aby udowodnić, że wszystkie dostatecznie duże liczby nieparzyste spełniają hipotezę Goldbacha dla trzech liczb. W swojej pracy Winogradow udowodnił i skorzystał z twierdzenia mówiącego, że funkcja

$r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3}),$

gdzie $\Lambda$ oznacza funkcję von Mangoldta, spełnia zależność

$r(N)={\frac {1}{2}}G(N)N^{2}+O\left({\frac {N^{2}}{(\log N)^{A}}}\right),$

przy czym $G(N)$ dla $N$ nieparzystych jest funkcją ograniczoną.

Zmiany w podejściu polegały przede wszystkim na rozważaniu skończonej sumy trygonometrycznej

$S(\alpha )=\sum _{k\leqslant N}\Lambda (k)e(\alpha k),$

gdzie $N$ jest ustaloną liczbą, a $e(x)=e^{2\pi ix}$. Widzimy, że

$S(\alpha )^{3}=\sum _{n\leqslant 3N}\left(\sum _{\begin{array}{c}k_{1}+k_{2}+k_{3}=n\\k_{1},k_{2},k_{3}\leqslant N\end{array}}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3})\right)e(n\alpha )=\sum _{n\leqslant 3N}r(n,N)e(n\alpha ).$

$r(n,N)=r(n)$ dla $n\leqslant N$, dlatego dowód Winogradowa opierał się na oszacowaniu całki

$r(n,N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-n\alpha )d\alpha .$

Współczesny podział

Analityczną teorię liczb zwykle dzieli się na poddziały:

• multiplikatywną teorię liczb (badającą obiekty takie jak funkcja zeta Riemanna, do której najbardziej znanych wyników należy twierdzenie o liczbach pierwszych);
• addytywną teorię liczb (zajmującą się np. problemem Waringa czy hipotezą Goldbacha).

Choć powyższy podział utrwalił się w literaturze, współcześnie wiele kierunków badań przeplata ze sobą metody różnych dziedzin, aby osiągnąć efektywne rezultaty. Do najbardziej znaczących należą:

• probabilistyczna teoria liczb,
• teoria sit,

Problemy otwarte

Poniżej przedstawiono kilka z najważniejszych i zarazem najbardziej znanych problemów otwartych w analitycznej teorii liczb.

• Hipoteza Riemanna – czy każde nietrywialne miejsce zerowe funkcji zeta Riemanna leży na linii krytycznej ${\textstyle \Re (s)=1/2}$? Problem uznawany jest powszechnie za najbardziej znaczący w całej teorii liczb, doczekał się licznych publikacji. W praktyce, hipoteza Riemanna jest równoważna z zależnością

$\pi (x)={\text{Li}}(x)+O({\sqrt {x}}\log x),$

gdzie Li oznacza resztę logarytmu całkowego

• Uogólniona hipoteza Riemanna – czy każde nietrywialne miejsce zerowe funkcji L Dirichleta leży na linii krytycznej $\Re (s)=1/2$? Prawdziwość tej hipotezy pociągałaby za sobą skutki analogiczne do zwykłej hipotezy Riemanna, ale dotyczące liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Jeśli jest ona prawdziwa, to
  $$\pi (x;q,a)={\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}+O({\sqrt {x}}\log({qx})).$$

• Problem stałej Linnika – jeśli $p(q,a)$ dla liczb całkowitych $0<a<q$ oznacza najmniejszą liczbę pierwszą w ciągu arytmetycznym $a+nq$ $(n=0,1,2,\dots ),$ to czy dla wszystkich par $(q,a)$ zachodzi zależność

$p(q,a)=O(q^{L})$

dla stałej $L=2$? Pozytywne rozwiązanie byłoby znaczącym poprawieniem wyników Jurija Linnika, który pierwszy wykazał istnienie takiej stałej, ale nie podał żadnych wartości numerycznych. Współcześnie najlepszy wynik wynosi $L=5$. Przy założeniu uogólnionej hipotezy Riemanna można wykazać nierówność

$p(q,a)\leqslant \varphi (d)^{2}(\log d)^{2}.$