Charakter Dirichleta

Przykład charakteru Dirichleta $\chi \;{\text{mod}}\;7$

W analitycznej teorii liczb funkcja arytmetyczna $\chi \colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}$ nazywana jest charakterem Dirichleta modulo $q$, jeśli dla ustalonej liczby naturalnej $q$ i wszystkich liczb całkowitych $a,b$ spełnia warunki:

1. $\chi (ab)=\chi (a)\chi (b),$ tzn. jest całkowicie multiplikatywna.
2. $\chi (a)\neq 0$ jeśli $(a,q)=1$ oraz $\chi (a)=0$ jeśli $(a,q)>1,$ gdzie $(x,y)$ oznacza największy wspólny dzielnik $x$ i $y.$
3. $\chi (a+q)=\chi (a)$ – ma okres $q.$

Najprostszym przykładem charakteru Dirichleta jest charakter pryncypialny, zadany przez

$\chi (a)={\begin{cases}1,\quad (a,q)=1\\0,\quad (a,q)>1.\end{cases}}$

Najczęściej jest on zapisywany jako $\chi _{0}$.

W ogólności, dla każdej liczby całkowitej $q>1$ istnieje dokładnie $\varphi (q)$ (tocjent) różnych charakterów Dirichleta mod $q$. Są to $\chi _{1},\;\chi _{2},\;\ldots ,\;\chi _{\varphi (q)}$ (lub $\chi _{0},\;\chi _{1},\;\ldots ,\;\chi _{\varphi (q)-1}$) dane przez ${\textstyle \chi _{r}(n)=\exp \left({a{\frac {2\pi i}{\varphi (q)}}}\right)}$ dla pewnej liczby całkowitej $a$ zależnej od $n$, $r$ i $q$ dla $(n,q)=1$ oraz $\chi _{r}(n)=0$ dla $(n,q)>1$.

Przykłady

Dla $q=7$ istnieje 6 różnych charakterów mod 7.

	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$\chi _{0}$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi _{1}$	$0$	$1$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$-1$
$\chi _{2}$	$0$	$1$	$\omega ^{2}$	$\omega$	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	$-1$
$\chi _{3}$	$0$	$1$	$\omega ^{2}$	$-\omega$	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	$1$
$\chi _{4}$	$0$	$1$	$-\omega$	$\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	$-\omega$	$1$
$\chi _{5}$	$0$	$1$	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	$\omega$	$-1$

Tutaj ${\textstyle \omega =\exp \left({\frac {2\pi i}{6}}\right)=\exp \left({\frac {\pi i}{3}}\right)}$.

Własności

Przystawanie

Własnością oczywistą (wynikającą z okresowości) jest fakt, że jeśli ${\textstyle n\equiv m\;({\text{mod}}\;q)}$, to

$\chi (n)=\chi (m)$.

Twierdzenie odwrotne niekoniecznie musi być prawdziwe.

Tocjent

Jeśli $(n,q)=1$, to z twierdzenia Eulera wiadomo, że ${\textstyle n^{\varphi (q)}\equiv 1\;({\text{mod}}\;q)}$, więc

$\chi (n)^{\varphi (q)}=\chi \left(n^{\varphi (q)}\right)=1$.

Ortogonalność

Charakterów Dirichleta dotyczą dwie relacje ortogonalności,

$\sum _{n=0}^{q-1}\chi (n)={\begin{cases}\varphi (q),\quad &\chi =\chi _{0}\\0,&\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}$

oraz

$\sum _{r=1}^{\varphi (q)}\chi _{r}(n)={\begin{cases}\varphi (q),\quad &n\equiv 1\;({\text{mod}}\;q)\\0,&n\not \equiv 1\;({\text{mod}}\;q)\end{cases}}$.

Ponadto, tożsamością wykorzystywaną najczęściej w dowodach twierdzeń jest

$\sum _{r=1}^{\varphi (q)}\chi _{r}(n){\overline {\chi _{r}(m)}}={\begin{cases}\varphi (q),\quad &n\equiv m\;({\text{mod}}\;q)\\0,&n\not \equiv m\;({\text{mod}}\;q)\end{cases}}$

Wykorzystanie

Ze względu na swoje własności, charaktery Dirichleta wykorzystywane są najczęściej w problemach dotyczących liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych.

Funkcje L Dirichleta

Ogromny wpływ na rozwój analitycznej teorii liczb mają funkcje L Dirichleta. Definiuje się je jako szereg

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$

dla danego charakteru $\chi$ i wszystkich liczb zespolonych $s$ na półpłaszczyźnie $\Re (s)>1$ oraz jako rozszerzenie analityczne powyższej funkcji na reszcie płaszczyzny zespolonej. Każda funkcja L Dirichleta ma także swój iloczyn Eulera

$L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}$.

Twierdzenie Siegela-Walfisza

Twierdzenie Siegela-Walfisza mówi o liczbie liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Na potrzeby dowodu, definiuje się funkcję

$\psi (x,\chi )=\sum _{n\leqslant x}\chi (n)\Lambda (n)$.

Dzięki relacji ortogonalności powyższa funkcja jest związana z drugą funkcją Czebyszewa równaniem

$\psi (x;q,a)={\frac {\psi (x,\chi _{0})}{\varphi (q)}}+{\frac {1}{\varphi (q)}}\sum _{\begin{array}{c}\chi \;({\text{mod}}\;q)\\\chi \neq \chi _{0}\end{array}}{\overline {\chi (a)}}\psi (x,\chi )$.

Twierdzenie mówi, że dla każdej stałej $N$ istnieje liczba $C_{N}$ taka, że dla $q\leqslant (\log x)^{N}$ i dowolnego niepryncypialnego charakteru $\chi \;{\text{mod}}\;q$ zachodzi

$|\psi (x,\chi )|=O\left(xe^{-C_{n}{\sqrt {\log x}}}\right)$.