Trapez

Trapez

Trapez – czworokąt mający przynajmniej jedną parę równoległych boków nazywanych podstawami, pozostałe noszą nazwę ramion; odległość między podstawami to wysokość. Niektórzy autorzy definiują trapez jako czworokąt posiadający tylko jedną parę boków równoległych, tzn. uważają, że równoległobok nie jest trapezem.

Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa 180°.

Własności

Pole trapezu dane jest wzorem:

$P=\frac{a+b}{2} \cdot h \ ,\,$

gdzie:

• $a, b\, -\,$ długości podstaw;
• $h\, -\,$ wysokość, czyli odległość między podstawami.

Inny wzór:

$P=\frac{1}{4}\cdot \frac{a+b}{a-b}\ \sqrt{a-b+c+d}\ \sqrt{a-b-c+d}\ \sqrt{a-b+c-d}\ \sqrt{-a+b+c+d} \ ,\,$

gdzie:

• $a\, -\,$ długość dłuższej podstawy,
• $b\, -\,$ długość krótszej podstawy,
• $c, d\, -\,$ długości ramion.

Obowiązuje dla $a\,$ $>\,$ $b\, ;\,$

dla

$b\,=0\, \,$

otrzymujemy trójkąt i wzór Herona.

• Jeśli oznaczymy przez P punkt przecięcia przekątnych, to trójkąty ADP i BCP mają równe pola.

Dowód: Trójkąty ABC i ABD mają wspólną podstawę i równą wysokość, a zatem równe pola. Trójkąty BCP i ADP powstają z nich przez odjęcie trójkąta ABP.

Szczególne rodzaje trapezów

Trapez równoramienny

Trapez równoramienny jest to trapez, mający oś symetrii, przechodzącą przez środki podstaw (i będącą zarazem ich symetralną). Ramiona takiego trapezu są równej długości. Kąty między ramionami a daną podstawą są sobie równe.

Oznaczenia:

• $a, b\$ – długości dłuższej i krótszej podstawy trapezu równoramiennego;
• $c\$ – długość jego ramienia;
• $h\$ – wysokość trapezu, czyli długość odcinka łączącego obie podstawy, prostopadłego do nich;
• $\varphi\$ – kąt pomiędzy przekątnymi trapezu.

Wzór na pole powierzchni trapezu równoramiennego:

$S=\frac{(a+b) \cdot h}{2}=(c \cdot \operatorname{cos} {\varphi} + a) \cdot c \cdot \operatorname{sin} {\varphi}= \frac{a-b}{2}h + bh.$

Trapez (niebędący równoległobokiem) można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoramienny. Wówczas sumy kątów przy danym ramieniu i sumy kątów przeciwległych są równe po 180°, co jest równoważne równości kątów przy danym ramieniu.

Trapez prostokątny

Trapez prostokątny jest to trapez, który posiada wewnętrzny kąt prosty $90^\circ\$, przy czym, jak łatwo wykazać, jeżeli posiada jeden kąt prosty, to musi posiadać co najmniej dwa takie kąty. Szczególną odmianą trapezu prostokątnego (o wszystkich czterech kątach prostych) jest prostokąt.

Trapezoid

Trapezoid

Trapezoid jest definiowany jako czworokąt, w którym żadna para boków nie jest równoległa, czyli czworokąt, który nie jest trapezem. Niektórzy żądają dodatkowo, żeby trapezoid był czworokątem wypukłym.

Zobacz też

• twierdzenie Talesa
• trójkąt równoramienny
• trójkąt prostokątny