Trapez

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Trapez równoramienny)
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia geometrycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.
WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło trapez w Wikisłowniku
Trapez

Trapezczworokąt mający przynajmniej jedną parę równoległych boków nazywanych podstawami, pozostałe noszą nazwę ramion; odległość między podstawami to wysokość. Niektórzy autorzy[1][2][3] definiują trapez jako czworokąt posiadający tylko jedną parę boków równoległych, tzn. uważają, że równoległobok nie jest trapezem.

Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa 180°.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Pole trapezu dane jest wzorem:

P=\frac{a+b}{2} \cdot h \ ,\,

gdzie:

  • a, b\, -\, długości podstaw;
  • h\, -\, wysokość, czyli odległość między podstawami.

Inny wzór:

P=\frac{1}{4}\cdot \frac{a+b}{a-b}\ \sqrt{a-b+c+d}\ \sqrt{a-b-c+d}\ \sqrt{a-b+c-d}\ \sqrt{-a+b+c+d} \ ,\,

gdzie:

  • a\, -\, długość dłuższej podstawy,
  • b\, -\, długość krótszej podstawy,
  • c, d\, -\, długości ramion.

Obowiązuje dla a\, >\, b\, ;\,

dla

b\,=0\, \,

otrzymujemy trójkąt i wzór Herona.

  • Jeśli oznaczymy przez P punkt przecięcia przekątnych, to trójkąty ADP i BCP mają równe pola.

Dowód: Trójkąty ABC i ABD mają wspólną podstawę i równą wysokość, a zatem równe pola. Trójkąty BCP i ADP powstają z nich przez odjęcie trójkąta ABP.

Szczególne rodzaje trapezów[edytuj | edytuj kod]

Trapez równoramienny[edytuj | edytuj kod]

Trapezoid isosceles.svg

Trapez równoramienny jest to trapez, mający oś symetrii, przechodzącą przez środki podstaw (i będącą zarazem ich symetralną). Ramiona takiego trapezu są równej długości. Kąty między ramionami a daną podstawą są sobie równe.

Oznaczenia:

  • a, b\ – długości dłuższej i krótszej podstawy trapezu równoramiennego;
  • c\ – długość jego ramienia;
  • h\ – wysokość trapezu, czyli długość odcinka łączącego obie podstawy, prostopadłego do nich;
  • \varphi\ kąt pomiędzy przekątnymi trapezu.

Wzór na pole powierzchni trapezu równoramiennego:

S=\frac{(a+b) \cdot h}{2}=(c \cdot \operatorname{cos} {\varphi} + a) \cdot c \cdot \operatorname{sin} {\varphi}= \frac{a-b}{2}h + bh.

Trapez (niebędący równoległobokiem) można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoramienny. Wówczas sumy kątów przy danym ramieniu i sumy kątów przeciwległych są równe po 180°, co jest równoważne równości kątów przy danym ramieniu.

Trapez prostokątny[edytuj | edytuj kod]

Trapezoid right-angled.svg

Trapez prostokątny jest to trapez, który posiada wewnętrzny kąt prosty 90^\circ\ , przy czym, jak łatwo wykazać, jeżeli posiada jeden kąt prosty, to musi posiadać co najmniej dwa takie kąty. Szczególną odmianą trapezu prostokątnego (o wszystkich czterech kątach prostych) jest prostokąt.


Trapezoid[edytuj | edytuj kod]

Trapezoid

Trapezoid jest definiowany jako czworokąt, w którym żadna para boków nie jest równoległa, czyli czworokąt, który nie jest trapezem[4][5]. Niektórzy żądają dodatkowo, żeby trapezoid był czworokątem wypukłym[6][7][8].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiendiajew: Matematyka Poradnik encyklopedyczny. Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 212.
  2. Słownik języka polskiego. PWN, 1981.
  3. Słownik języka polskiego (online). PWN. [dostęp 09.01.2001].
  4. Trapezoid. Wiem. [dostęp 2010-04-05].
  5. Maria Kowalska, Marcin Kurczab: Repetytorium z matematyki dla uczniów gimnazjów i kandydatów do liceów. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, s. 138. ISBN 83-204-2441-0.
  6. Encyklopedia szkolna. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1997, s. 56.
  7. Ewa Kowalik: Leksykon ucznia. Matematyka. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, s. 180. ISBN 83-204-2180-2.
  8. Alicja Cewe, Halina Nahorska: Tablice matematyczne. Wydawnictwo Podkowa, s. 102. ISBN 978-83-88299-15-5.