Pierścień (matematyka)

{{definicja|Zbiór, którego elementy mogą być dodawane, odejmowane i [[mnożenie|mnożone]ytjvbnfdgfnytjsgytfght, pierścień przemienny.

Definicja

Niech $(R,+,\cdot ,0)$ będzie algebrą, w której $R$ jest pewnym niepustym zbiorem, symbole $+,\cdot$ oznaczają dwa działania dwuargumentowe określone w tym zbiorze, a $0$ jest pewnym wyróżnionym elementem. Algebra ta nazwana jest pierścieniem (łącznym), jeśli:

• struktura $R^{+}=(R,+,0)$ jest grupą abelową, nazywaną grupą addytywną, z działaniem $+$ nazywanym dodawaniem i elementem neutralnym $0$ nazywanym zerem:

  $\forall _{a,b,c\in R}\;a+(b+c)=(a+b)+c$,

  $\forall _{a\in R}\;a+0=a$,

  $\forall _{a\in R}\;\exists _{b\in R}\;a+b=0$,

  $\forall _{a,b\in R}\;a+b=b+a$;

• struktura $(R,\cdot )$ jest półgrupą z działaniem $\cdot$ nazywanym mnożeniem:

  $\forall _{a,b,c\in R}\;a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$;

• oba działania powiązane są ze sobą prawami rozdzielności:

  $\forall _{a,b,c\in R}\;a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$,

  $\forall _{a,b,c\in R}\;(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.

Element odwrotny do $a$ względem dodawania (element $b$ z trzeciego aksjomatu) nazywa się elementem przeciwnym i oznacza $-a$.

Warianty

Na działanie mnożenia nakłada się często dodatkowe warunki regularności precyzując nazwę nowej struktury:

• pierścień z jedynką – istnienie elementu neutralnego mnożenia nazywanego jedynką:

  $\exists _{1\in R}\;\forall _{a\in R}\;a\cdot 1=1\cdot a=a$,

• pierścień przemienny – przemienność mnożenia (wówczas prawa rozdzielności stają się sobie równoważne):

  $\forall _{a,b\in R}\;a\cdot b=b\cdot a$.

Uwaga

W pierścieniu z jedynką struktura $(R,\cdot ,1)$ jest monoidem (przemiennym, jeśli pierścień jest przemienny), wynika stąd, że pierścień może mieć co najwyżej jedną jedynkę.

W praktyce najczęściej rozpatruje się (niezerowe) pierścienie z jedynką; ich atutem jest, gdy są one dodatkowo przemienne.

Rodzaje

Podstawowa definicja pierścienia, bywa rozwijana w wielu różnych kierunkach:

• pierścień bez dzielników zera – brak właściwych dzielników zera (zob. dalej):

  $\forall _{a,b\in R\setminus \{0\}}\;a\cdot b\neq 0$

• pierścień z dzieleniem – dowolny niezerowy element ma element odwrotny (zakłada się, że pierścień ma jedynkę):

  $\forall _{a\in R\setminus \{0\}}\;\exists _{b\in R}\;a\cdot b=1$,

Element odwrotny do $a$ (względem mnożenia; $b$ w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami $a^{-1}$ lub ${\tfrac {1}{a}}$.

Uwaga

W ogólności w pierścieniu mogą istnieć elementy odwracalne, tworzą one grupę nazywaną grupą elementów odwracalnych, którą oznacza się symbolem $R^{*}$. W pierścieniu z dzieleniem struktura $(R,\cdot ,1)$ jest grupą (przemienną, jeśli pierścień jest przemienny), którą nazywa się grupą multiplikatywną i oznacza $R^{*}$; oznaczenie nie jest przypadkowe: pokrywa się ona wówczas z grupą elementów odwracalnych.

Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się dziedziną. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zera, to każdy pierścień z dzieleniem jest pierścieniem bez dzielników zera, a więc dziedziną. Dziedziny przemienne określa się nazwą dziedzina całkowitości (także: pierścień całkowity; niekiedy nie wyróżnia się nieprzemiennych dziedzin całkowitości, wówczas często skraca się nazwę tej struktury do: dziedzina). Pierścień przemienny z dzieleniem (lub z powyższej obserwacji: dziedzinę całkowitości z dzieleniem) nazywa się ciałem.

Przykłady

Do najprostszych uniwersalnych przykładów należą:

• pierścień trywialny, zawierający dokładnie jeden element,
• pierścień zerowy, w którym mnożenie przez dowolny element daje zero.

Innymi ważnymi przykładami pierścieni są:

• liczby całkowite z działaniami arytmetycznymi dodawania i mnożenia (dziedzina całkowitości),
• pierścienie klas reszt (pierścienie przemienne z jedynką oraz ciała),
• kwaterniony (pierścień z dzieleniem),
• liczby całkowite Gaussa (dziedzina z jednoznacznością rozkładu, dziedzina Euklidesa),
• liczby całkowite Eisensteina (pierścień przemienny, dziedzina Euklidesa),

Osobnym przykładem są pierścienie wielomianów $R[X]$ jednej zmiennej $X$ o współczynnikach z pierścienia $R.$ W $R[X]$ zachowywane są następujące własności pierścienia $R$: przemienność, istnienie jedynki, brak dzielników zera, całkowitość (tzn. bycie dziedziną całkowitości), jednoznaczność rozkładu (twierdzenie Gaussa), noetherowskość (twierdzenie Hilberta o bazie). Jeżeli $R$ jest ciałem, to $R[X]$ jest pierścieniem euklidesowym.

Dobrze znane struktury liczb wymiernych, liczb rzeczywistych, czy liczb zespolonych z działaniami arytmetycznymi są przykładami pierścieni, jako że wszystkie są ciałami. Z kolei liczby naturalne (z działaniami arytmetycznymi) nie tworzą pierścienia, ponieważ wraz z działaniem dodawania nie tworzą nawet grupy; oktoniony również nie są pierścieniem, ponieważ mnożenie w nich określone nie jest łączne, lecz tylko alternatywne.

Składowe

Podpierścienie

Podzbiór $S$ pierścienia $(R,+,\cdot )$ nazywa się podpierścieniem, jeżeli jest on zamknięty na działania pierścienia $R$, czyli sam tworzy pierścień z działaniami odziedziczonymi z $R$:

• $\forall _{a,b\in S}\;a-b\in S$,
• $\forall _{a,b\in S}\;a\cdot b\in S$.

Pierwszy warunek oznacza, że $(S,+)$ musi być grupą (przemienną), drugi gwarantuje, że wynik mnożenia elementów z $S$ będzie zawierał się w tym samym zbiorze (tzn. mnożenie jest tam poprawnie określonym działaniem wewnętrznym).

Ideały

Podgrupę $I$ grupy addytywnej pierścienia $R$ nazywa się ideałem lewostronnym, jeżeli dla dowolnych dwóch elementów $i\in I$ oraz $r\in R$ spełniony jest warunek

$r\cdot i\in I$.

Jeżeli $I$ spełnia w zamian warunek

$i\cdot r\in I$,

to nazywa się ją ideałem prawostronnym. Ideał będący zarazem lewo- jak i prawostronny nazywa się krótko ideałem; pojęcia te pokrywają się w pierścieniach przemiennych. Każdy ideał jest podpierścieniem.

W dowolnym nietrywialnym pierścieniu $R$ istnieją co najmniej dwa różne ideały: cały pierścień $R$ i podpierścień trywialny $\{0\}$, nazywa się je ideałami trywialnymi lub niewłaściwymi, wszystkie pozostałe nazywa się ideałami właściwymi.

Ze względu na inne własności wyróżnia się m.in. następujące rodzaje ideałów pierścienia $R$:

• ideał główny – generowany przez jeden element pierścienia,
• ideał maksymalny – zawarty wyłącznie w ideale niewłaściwym $R$,
• ideał pierwszy – taki, że jeśli dany element ideału jest iloczynem dwóch innych, to przynajmniej jeden z nich również należy do ideału.

Elementy wyróżnione

Element $a$ pierścienia $R$ nazywa się

• dzielnikiem zera, gdy istnieje taki niezerowy element $b\in R$, że $a\cdot b=0$.
• idempotentnym, gdy $a\cdot a=a$.
• nilpotentnym, gdy istnieje $n\in \mathbb {N}$, dla którego $a^{n}=0$.

W pierścieniu skończonym (mającym skończenie wiele elementów) każdy element jest odwracalny albo jest dzielnikiem zera.

Homomorfizmy

Przekształcenie $f:R_{1}\to R_{2}$ między dwoma pierścieniami zachowujące ich działania, tzn. dla dowolnych elementów $a,b\in R_{1}$ spełnione są warunki:

• $f(a+b)=f(a)+f(b)$,
• $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$,

nazywa się homomorfizmem pierścieni. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm półgrup multiplikatywnych tych pierścieni.

Przekształcenie $f:R_{1}\to R_{2}$ między dwoma pierścieniami z jedynką zachowujące ich działania i jedynkę, tzn. dla dowolnych elementów $a,b\in R_{1}$ spełnione są warunki:

• $f(a+b)=f(a)+f(b)$,
• $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$,
• $f(1_{R_{1}})=1_{R_{2}}$,

nazywa się homomorfizmem pierścieni z jedynką. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm monoidów multiplikatywnych.

Pierścień ilorazowy

W dowolnym pierścieniu $(R,+,\cdot )$ grupa ilorazowa $R/I$, gdzie $I\subseteq R$ jest dowolnym ideałem (dwustronnym), jest pierścieniem z dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia na warstwach:

• $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$,
• $(a+I)\cdot (b+I)=(a\cdot b)+I$.

Pierścień ten nazywa się pierścieniem ilorazowym pierścienia $R$ przez ideał $I$ i również oznacza symbolem $R/I$.

Dodawanie jest dobrze określone z definicji grupy ilorazowej. Wystarczy więc dowieść, że iloczyn warstw nie zależy od wyboru reprezentanta mnożonych warstw. Niech dane będą dwie warstwy, każda z nich reprezentowana przez dwa różne elementy: $a+I=a'+I$ oraz $b+I=b'+I$. Równość

$(a\cdot b)+I=(a+I)\cdot (b+I)=(a'+I)\cdot (b'+I)=(a'\cdot b')+I$

dowodzi, że zmiana reprezentantów nie wpływa na wynik mnożenia, gdyż otrzymuje się tę samą, choć reprezentowaną przez inny element, warstwę.

Uogólnienia i przypadki szczególne

Wyróżnia się wiele rodzajów pierścieni, na które nakłada się dodatkowe warunki:

• pierścień ideałów głównych – pierścień, w którym każdy ideał jest główny (także: każdy ideał ma jeden generator),
• pierścień noetherowski – pierścień, w którym każdy ciąg wstępujący (w sensie zawierania) ideałów stabilizuje się (także: każdy ideał jest skończenie generowany),
• pierścień artinowski – pierścień, w którym każdy ciąg zstępujący (w sensie zawierania) ideałów stabilizuje się,
• pierścień z jednoznacznością rozkładu – pierścień przemienny, w którym każdy element można rozłożyć w sposób jednoznaczny na elementy nierozkładalne,
• pierścień lokalny – pierścień mający tylko jeden ideał maksymalny,
• pierścień Euklidesa – pierścień umożliwiający stosowanie algorytmu Euklidesa (znajdowanie NWD),
• pierścień zredukowany – pierścień bez niezerowych elementów nilpotentnych,
• pierścień Boole'a – pierścień przemienny z jedynką, w którym każdy element jest idempotentny,
• pierścień Dedekinda – dziedzina całkowitości, w której każdy niezerowy właściwy ideał rozkłada się na iloczyn ideałów pierwszych.

Literatura

• Andrzej Białynicki-Birula, Algebra
• Jerzy Browkin, Teoria ciał

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• pierścień Boole'a
• pierścień przemienny
• półpierścień
• moduł