Kryterium Eisensteina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kryterium Eisensteina (lub kryterium Eisensteina-Schönemanna[1]) – kryterium badania nierozkładalności wielomianów o współczynnikach z pewnego pierścienia z jednoznacznym rozkładem w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z ciała ułamków wyjściowego pierścienia. Początkowo, sformułowane dla wielomianów o współczynnikach całkowitych. Twierdzenie to zwyczajowo nazywane jest kryterium Eisensteina, jednak pierwszym autorem jest Schönemann[2][1], który udowodnił je w 1846[1].

Twierdzenie[edytuj]

Niech będzie pierścieniem z jednoznacznym rozkładem i niech będzie jego ciałem ułamków. Niech

będzie wielomianem o współczynnikach z pierścienia . Jeśli istnieje element pierwszy taki, że

oraz ,

to wielomian jest nierozkładalny w pierścieniu .

Szczególny przypadek[edytuj]

Jeśli jest pierścieniem liczb całkowitych, to jego ciałem ułamków jest ciało liczb wymiernych. Wystarczy wówczas zastąpić zwrot element pierwszy przez liczba pierwsza.

Przykłady[edytuj]

  • Wielomian jest nierozkładalny na mocy kryterium Eisensteina dla .
  • Jeśli jest liczbą pierwszą, to wielomian

jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych. Istotnie,

gdzie oznacza symbole Newtona, na przykład . Wszystkie współczynniki tego wielomianu z wyjątkiem najstarszego są podzielne przez , ale nie dzieli , zatem z kryterium Eisensteina wynika, że wielomian ten jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Przypisy

  1. a b c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.316
  2. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 878-83-01-14388-6; s.222-223

Bibliografia[edytuj]

  1. Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975.