Kryterium Eisensteina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kryterium Eisensteina (lub kryterium Eisensteina-Schönemanna[1]) – kryterium badania nierozkładalności wielomianów o współczynnikach z pewnego pierścienia z jednoznacznym rozkładem w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z ciała ułamków wyjściowego pierścienia. Początkowo, sformułowane dla wielomianów o współczynnikach całkowitych. Twierdzenie to zwyczajowo nazywane jest kryterium Eisensteina, jednak pierwszym autorem jest Schönemann[1][2], który udowodnił je w 1846[1].

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie pierścieniem z jednoznacznym rozkładem i niech będzie jego ciałem ułamków. Niech

będzie wielomianem o współczynnikach z pierścienia Jeśli istnieje element pierwszy taki, że

oraz

to wielomian jest nierozkładalny w pierścieniu

Szczególny przypadek[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest pierścieniem liczb całkowitych, to jego ciałem ułamków jest ciało liczb wymiernych. Wystarczy wówczas zastąpić zwrot element pierwszy przez liczba pierwsza.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Wielomian jest nierozkładalny na mocy kryterium Eisensteina dla
  • Jeśli jest liczbą pierwszą, to wielomian

jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych. Istotnie,

gdzie oznacza symbole Newtona, na przykład

Wszystkie współczynniki tego wielomianu z wyjątkiem najstarszego są podzielne przez ale nie dzieli zatem z kryterium Eisensteina wynika, że wielomian ten jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-01-14388-6​; s. 316.
  2. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 878-83-01-14388-6; s. 222–223.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]