Kryterium Eisensteina

Kryterium Eisensteina (lub kryterium Eisensteina-Schönemanna^[1]) – kryterium użyteczne dla badania nierozkładalności wielomianów o współczynnikach z pewnego pierścienia z jednoznacznym rozkładem w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z ciała ułamków wyjściowego pierścienia. Kryterium to, dla pewnego szczególnego przypadku charakterystyki rozważań, pozwala stwierdzić nierozkładalność dla wielomianu spełniającego szczególne zadane w kryterium warunki, w ramach pewnego pierścienia, związanego z odpowiednim ciałem ułamków. Początkowo sformułowane dla wielomianów o współczynnikach całkowitych. Twierdzenie to zwyczajowo nazywane jest kryterium Eisensteina, jednak pierwszym autorem był niemiecki matematyk Theodor Schönemann^[1]^[2], który udowodnił je w 1846^[1].

Twierdzenie

Niech $P$ będzie pierścieniem z jednoznacznym rozkładem i niech $K$ będzie jego ciałem ułamków. Niech

f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}

będzie wielomianem o współczynnikach z pierścienia $P$ . Jeśli istnieje element pierwszy $p\in P$ taki, że

p\mid a_{0},p\mid a_{1},\dots ,p\mid a_{n-1},p\nmid a_{n}

oraz

p^{2}\nmid a_{0},

to wielomian $f$ jest nierozkładalny w pierścieniu $K[x]$ .

Szczególny przypadek

Jeśli $P$ jest pierścieniem liczb całkowitych, to jego ciałem ułamków jest ciało liczb wymiernych. Wystarczy wówczas zastąpić zwrot element pierwszy przez liczba pierwsza.

Przykłady

Wielomian $f(x)=x^{n}+3x+3$ jest nierozkładalny na mocy kryterium Eisensteina dla $p=3.$
Jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, to wielomian

f(x)={\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots +x+1

jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych. Istotnie,

f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}={\frac {1}{x}}\left(x^{p}+{p \choose 1}x^{p-1}+\ldots +{p \choose {p-1}}x\right)=x^{p-1}+{p \choose 1}x^{p-2}+\ldots +{p \choose {p-1}},

gdzie $p \choose k$ oznacza symbole Newtona, na przykład ${p \choose {p-1}}=p.$

Wszystkie współczynniki tego wielomianu z wyjątkiem najstarszego są podzielne przez $p,$ ale $p^{2}$ nie dzieli $p,$ zatem z kryterium Eisensteina wynika, że wielomian ten jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Przypisy

1 2 3 Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-01-14388-6; s. 316.
↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6; s. 222–223.

Bibliografia

Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975.

Linki zewnętrzne

BartłomiejB. Bzdęga BartłomiejB., Odmnażanie wielomianów, „Delta”, maj 2024, ISSN 0137-3005 [dostęp 2025-06-03] .
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Eisenstein's Irreducibility Criterion, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-10-31].

[Gleichgewicht-1] 1 2 3 Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-01-14388-6; s. 316.

[2] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6; s. 222–223.

[1]

[2]