Twierdzenie Sturma

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Sturma - twierdzenie pozwalające ustalić liczbę miejsc zerowych dowolnego wielomianu rzeczywistego w ustalonym przedziale.

Ciągi Sturma[edytuj | edytuj kod]

Dla danego wielomianu

f(x)=a_n x^n+\ldots a_1 x+a_0

Ciąg Sturma (wielomianu f) określony jest wzorami:

\begin{array}{rcl}
X_0 &=&X\\
X_1&=&X^\prime\\
X_2&=&-{\rm rem}(X,X_1)\\
X_3&=&-{\rm rem}(X_1,X_2)\\
&\vdots&\\
X_{r+1}&=&-{\rm rem}(X_{r-1},X_r),
\end{array}

gdzie rem(X,Y) oznacza resztę z dzielenia wielomianu X przez Y oraz r jest taką liczbą naturalną, że X_{r+1}=0. Innymi słowy, ciąg Sturma danego wielomianu w jest (skończonym) ciągiem reszt uzyskiwanych podczas stosowania algorytmu Euklidesa do odpowiednich wielomianów

X_r jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianu X oraz jego pochodnej. Jeżeli wielomian ten ma tylko pojedyncze pierwiastki, to X_r jest funkcją stałą.

Twierdzenie Sturma[edytuj | edytuj kod]

Niech w(\xi) będzie liczbą zmian znaku (nie liczy się zer) w ciągu Sturma:

X_0(\xi), X_1(\xi), X_2(\xi),\ldots, X_r(\xi).

Twierdzenie Sturma mówi, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a<b które nie są pierwiastkami wielomianu X liczba pierwiastków wielomianu w przedziale [a,b] jest równa

|w(a)-w(b)|\,.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Sturma można wykorzystać do wyznaczenia liczby rzeczywistych pierwiastków dowolnego wielomianu. Wystarczy znaleźć taką liczbę M, że wszystkie pierwiastki wielomianu X leżą w przedziale [-M,M]; za taką liczbę można wziąć np.

M=\max\{1, \sum |a_i|\}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]