Twierdzenie Sturma

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Sturma – twierdzenie pozwalające ustalić liczbę miejsc zerowych dowolnego wielomianu rzeczywistego w ustalonym przedziale, sformułowane przez Jacques'a Charles'a François Sturma.

Ciągi Sturma[edytuj]

Dla danego wielomianu

Ciąg Sturma (wielomianu ) określony jest wzorami:

gdzie rem(X,Y) oznacza resztę z dzielenia wielomianu X przez Y oraz jest taką liczbą naturalną, że . Innymi słowy, ciąg Sturma danego wielomianu jest (skończonym) ciągiem reszt uzyskiwanych podczas stosowania algorytmu Euklidesa do odpowiednich wielomianów

jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianu oraz jego pochodnej. Jeżeli wielomian ten ma tylko pojedyncze pierwiastki, to jest funkcją stałą.

Twierdzenie Sturma[edytuj]

Niech będzie liczbą zmian znaku (nie liczy się zer) w ciągu Sturma:

Twierdzenie Sturma mówi, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych które nie są pierwiastkami wielomianu liczba pierwiastków wielomianu w przedziale jest równa

.

Zastosowania[edytuj]

Twierdzenie Sturma można wykorzystać do wyznaczenia liczby rzeczywistych pierwiastków dowolnego wielomianu. Wystarczy znaleźć taką liczbę , że wszystkie pierwiastki wielomianu leżą w przedziale ; za taką liczbę można wziąć np.

.