Wahadło

Wahadło realne, które można opisać za pomocą modelu wahadła matematycznego (Katedra Metropolitalna, miasto Meksyk).

Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe w układzie biegunowym.

Wahadło – ciało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nie przechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

W mechanice rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

• matematyczne (proste),
• fizyczne.

Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niezależność ich okresu drgań od amplitudy, co jest dobrze spełnione, gdy maksymalny kąt odchylenia wahadła od pionu jest mniejszy niż 0,1 radiana (ok. 6°). Własność ta, zwana izochronizmem drgań, odkryta około 1602 roku przez Galileo Galilei, który używał wahadło do pomiaru czasu. Zainspirowany tą zasadą Christiaan Huygens zbudował w 1656 roku pierwszy zegar wahadłowy. Zegary wahadłowe były najdokładniejszymi urządzaniami do pomiaru czasu aż do skonstruowania w latach 30. XX wieku zegarów kwarcowych.

W ogólności wahadło jest oscylatorem anharmonicznym, jego okres drgań i inne parametry zależy od amplitudy. Opis matematyczny rozwiązań równania ruchu wahadła jest w ogólności dość złożony, ale założenia upraszczające przyjmowane dla małych amplitud drgań, pozwalają rozwiązać równania ruchu w sposób analityczny.

Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne to punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym. Równanie ruchu wahadła określa wzór:

${d^{2}\theta (t) \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta (t)=0$

gdzie:

• $\theta (t)$ – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili $t$,
• $g$ – przyspieszenie ziemskie,
• $\ell$ – długość nici.

Wyprowadzenie wzoru przez analizę sił.

Wahadło jest odchylone od pionu o kąt θ. Na ciało działa siła siła ciężkości oraz naprężenia nici. Zawieszenie wahadła wymusza ruch po łuku w płaszczyźnie pionowej. Siłę ciężkości wahadła rozkłada się na styczną do kierunku ruchu i prostopadłą do niego. Składowa prostopadła do kierunku ruchu nie wpływa na wartość prędkości, zmienia jedynie jej kierunek. Składowa równoległa nadaje ciału przyspieszenie

$F=-mg\sin \theta =ma$

$F=ma$

$a=-g\sin \theta$

Przyspieszenie to powoduje przebycie drogi, która jest długością łuku:

$s=\ell \theta$

$v={ds \over dt}=\ell {d\theta \over dt}$

$a={d^{2}s \over dt^{2}}=\ell {d^{2}\theta \over dt^{2}}$

$\ell {d^{2}\theta \over dt^{2}}=-g\sin \theta$

${d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0$

Drgania dla małej amplitudy

Funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem gdy kąt jest odpowiednio mały (szereg Taylora).

$\sin \theta \approx \theta$

wówczas ogólne równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci

${\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta (t)=0$

Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych. Rozwiązanie określa zależność kąta wahań od czasu i może być określone wzorem:

$\theta (t)=\theta _{0}\,{\text{sin}}(\omega t+\varphi )$

gdzie:

• $\theta _{0}$ – amplituda drgań,
• $\omega ={\sqrt {\frac {g}{\ell }}}$ – częstość kołowa drgań,
• $\varphi$ – faza początkowa drgań.

Okres drgań jest związany z częstością wzorem

$T={\frac {2\pi }{\omega }}$

okres drgań wynosi

$T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}$

Wynika stąd, że w przybliżeniu małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

Wzór na okres drgań jest więc słuszny nie tylko dla drgań na Ziemi, ale też np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi. Identyczne wahadło miałoby tam ${\sqrt {6}}$ razy dłuższy okres drgań.

Okres drgań o dowolnej amplitudzie

Zależność okresu drgań wahadła T od amplitudy drgań θ_o.

Dla dużych amplitud wahań okres drgań zależy od amplitudy i rośnie wraz z jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór:

$T=4{\sqrt {\ell \over g}}\,K\left(\sin {\theta _{0} \over 2}\right)$

A jego rozwinięciem jest wzór:

${\begin{alignedat}{2}T(\theta _{0})=2\pi {\sqrt {\ell \over g}}\cdot \!\!\sum _{n=0}^{\infty }\left[\left(\!{\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\!\!\!\cdot \sin ^{2n}\!\!\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]\end{alignedat}}$

$=\!2\pi {\sqrt {\ell \over g}}\left(1\!+\!\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\!\!\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\!+\!\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\!\!\sin ^{4}\!\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\!+\cdots \!\!\right)$

Rozwijając w szereg Maclaurina:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+{\frac {173}{737280}}\theta _{0}^{6}+{\frac {22931}{1321205760}}\theta _{0}^{8}+...\right)$

Gdy w powyższym wzorze pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego.

gdzie K jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

Wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów

Związki geometryczne dla wahadła matematycznego.

Wzór na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów można wyprowadzić z zasady zachowania energii. Jeżeli ciało porusza się w dół od stanu spoczynku, to nabywa energię kinetyczną kosztem utraty energii potencjalnej grawitacji. Jeżeli nie ma strat energii, to powyższe dwie wielkości są sobie równe, czyli

${1 \over 2}mv^{2}=mgh$

Stąd prędkość wahadła wynosi:

$v={\sqrt {2gh}}$

Ponieważ $v={\ell }{d\theta \over dt}$, to z powyższych wzorów otrzymuje się prędkość kątową wahadła

${d\theta \over dt}={1 \over \ell }{\sqrt {2gh}}$

Wysokość na jakiej znajduje się wahadło:

$y=\ell \cos \theta _{0}$

Zmiana wysokości jest różnicą wysokości dwóch położeń, to

$h=\ell \left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)$

ostatecznie otrzymuje się 

${d\theta \over dt}={\sqrt {{2g \over \ell }\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}$

albo

$dt={\sqrt {\ell \over 2g}}{d\theta \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}$

Okres wahań T otrzymuje się całkując powyższe równanie w granicach od 0 do θ_o i mnożąc całkę przez 4 (wahadło wraca do początku ruchu po 4 takich ruchach):

$T=4{\sqrt {\ell \over 2g}}\int _{0}^{\theta _{0}}{d\theta \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}$

Całka występująca w powyższym wzorze jest całką eliptyczną. Aby przepisać ją do postaci Lagendre’a, której wartości są stablicowane, wyraża się θ w zależności od u, dokonując przekształceń, oraz podstawienia $\sin {u}={\frac {\sin {\theta \over 2}}{\sin {\theta _{0} \over 2}}}$, prowadzi do wzoru na okres drgań wahadła

$T=4{\sqrt {\ell \over g}}\,{\text{K}}\left(\sin {\theta _{0} \over 2}\right)$

gdzie K jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju zdefiniowaną jako

${\text{K}}(k)=F\left({\pi \over 2},k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{1 \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}{u}}}}\,du$

gdzie:

$k=\sin {\theta _{0} \over 2}$

Całkę tę można rozwinąć w szereg

${\begin{alignedat}{2}{\text{K}}(k)={\frac {\pi }{2}}{\Bigg \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }\left[\left(\!{\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\!\right)^{2}\!\cdot k^{2n}\right]{\Bigg \}}\end{alignedat}}$

co prowadzi do wzoru na okres drgań wrażony przez szereg, podany wyżej.

Wyprowadzenie równania ruchu wahadła z zasady zachowania energii

Zostanie tutaj wyprowadzone równanie ruchu wahadła w oparciu o zasadę zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna wahadła jest zachowana, gdyż zakłada się tutaj, że na układ działają jedynie siły zachowawcze, a pomija się opory ruchu. W ogólności zachowanie energii mechanicznej pozwala na wyprowadzenie równania ruchu dowolnego układu bez potrzeby odwoływania się do konkretnej postaci działających sił, co zazwyczaj prowadzi do prostszych obliczeń.

Różniczkując względem czasu wyprowadzone wyżej równanie ${d\theta \over dt}={\sqrt {{2g \over \ell }\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}$ (z użyciem reguły łańcuchowej) otrzyma się przyspieszenie kątowe

${d \over dt}{d\theta \over dt}={d \over dt}{\sqrt {{2g \over \ell }\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}$

czyli

${\begin{aligned}{d^{2}\theta \over dt^{2}}&={1 \over 2}{-(2g/\ell )\sin \theta \over {\sqrt {(2g/\ell )\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}}{d\theta \over dt}\\&={1 \over 2}{-(2g/\ell )\sin \theta \over {\sqrt {(2g/\ell )\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}}{\sqrt {{2g \over \ell }\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}=-{g \over \ell }\sin \theta \end{aligned}}$

Stąd:

${d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0,$

co jest tym samym równaniem które zostało wyprowadzone wcześniej z analizy sił.

Przybliżona zależność okresu od amplitudy

Zależność kąta wychylenia od czasu dla wahadeł o tej samej długości a amplitudzie 0,25π(45°) i 0,99π(178°).

Zagadnienie ruchu wahadła można rozwiązać przybliżając funkcję sinus do dwóch wyrazów, wówczas równanie ruchu wahadła przyjmuje postać:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\left(\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}\right)=0$

Przyjmując poniższe oznaczenia, przybliżonym rozwiązaniem jest:

$\theta (t)=\theta _{0}\cos \omega t+\epsilon \cos(3\omega t)$

$\theta _{0}=\cos(\omega _{0}t+\phi )$

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{l}}}$

$\omega =\omega _{0}\left(1-{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right)$

$\epsilon ={\frac {1}{3}}\left({\frac {\theta _{0}}{4}}\right)^{3}$

Przybliżenie to wskazuje, że wahadło nie jest oscylatorem harmonicznym, a jego trzecia harmoniczna jest zależna w trzeciej potędze od amplitudy drgań.

Wahadło o okresie niezależnym od amplitudy

Ruch ciał po tautochronie.

Problemem konstruowania dokładnych zegarów wahadłowych, których szybkość chodu nie zależy od amplitudy drgań zajmował się Christiaan Huygens, wykazał że niezależność szybkości chodu zapewni zmniejszanie długość nici wahadła wraz z wychyleniem zwane wahadłem cykloidalnym. Skonstruował wahadło o okresie niezależnym od amplitudy.

Problem wahadła o okresie niezależnym od amplitudy sprowadza się do wyznaczenia tautochrony, czyli krzywej, po której ciało poruszając pod działaniem stałej siły grawitacji w takim samym czasie przemieści się od punktu ruszenia do jej najniższego punktu. Krzywą tą jest cykloida

Rozwiązanie ogólnego równania ruchu. Krzywe fazowe

a) Wykres energii potencjalnej wahadła prostego w zależności od kąta wychylenia (u góry)
b) krzywe fazowe, tj. krzywe zależności prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia (u dołu).

Rozwiązanie ruchu wahadła dla dowolnego można podać rozwiązanie w postaci uwikłanej:

$dt={\sqrt {\ell \over 2g}}{d\theta \over (\cos \theta -\cos \theta _{0})}$

Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do θ przy stałym kącie θ₀ otrzymuje się

$t(\theta )={\sqrt {\ell \over 2g}}\int _{0}^{\theta }{d\theta \over (\cos \theta -\cos \theta _{0})}$

Całka w powyższym wzorze jest całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

W opisie ruchu wahadła zamiast kąta maksymalnego wychylenia, jako stały parametr ruchu można przyjąć całkowitą energię mechaniczną wahadła. Całkowita energia określa punkty zwrotne ruchu wahadła (kąty maksymalnego odchylenia). Jeżeli energia jest mniejsza od energii potrzebnej na wykonanie pełnego obrotu, równej $E_{min}=2mgh$ (zero energii potencjalnej jest w najniższym położeniu wahadła), to krzywe fazowe, czyli krzywe zależności prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia są krzywymi zamkniętymi. Dla energii równej minimalnej energii potrzebnej do wykonania pełnego obrotu krzywe fazowe tworzą przecinające się linie. Dla energii większej krzywe fazowe są liniami otwartymi. Na podstawie wykresów fazowych mona odróżnić poszczególne przypadki ruchu. W ogólności płaszczyzna fazowa odgrywa ważną rolę przy rozwiązywaniu nieliniowych równań różniczkowych.

Poniżej zestawiono animacje pokazujące różne sposoby (mody) oscylacji wahadła matematycznego. Mody te zależą od warunków początkowych ruchu. Animacje pokazują, że okres drgań zależy od amplitudy. Małe wykresy powyżej wahadeł są wykresami fazowymi ruchu wahadeł.

• 
  Kąt początkowy 0°, równowaga trwała.
• 
  Kąt początkowy 45°
• 
  Kąt początkowy 90°
• 
  Kąt początkowy 135°
• 
  Kąt początkowy 170°
• 
  Kąt początkowy 180°, równowaga nietrwała.
• 
  Wahadło o energii nieco większej niż potrzebna na pełny obrót.
• 
  Wahadło o energii znacznie większej niż minimalna potrzebnej na pełny obrót.

Wahadło w stanie nieważkości

W stanie nieważkości siła grawitacji jest równoważona przez siłę bezwładności układu odniesienia. W wyniku czego ciało wahadła zachowuje się tak jakby na nie nie działała siła. W zależności od warunków początkowych ciało wahadła spoczywa (jest w równowadze trwałej) albo porusza się ruchem jednostajnym po okręgu.

Reakcji więzów

Suma składowych sił działających na ciało prostopadłe do okręgu wymusza ruch po okręgu dlatego jest siłą dośrodkową; jej wartość określa wzór

$F_{r}=-{\frac {mv}{\ell }}^{2}$

przy czym znak „minus” jest dlatego, że siła działa w kierunku środka okręgu, przeciwnie do wersora ${\hat {r}}$ układu współrzędnych biegunowych. Zależność tej siły od kąta θ można określić wyznaczając prędkość wahadła z zasady zachowania energii, co daje.

$v^{2}=2g\ell ({\text{cos}}\,\theta -{\text{cos}}\,\theta _{0})$

gdzie $\theta _{0}$ – kąt maksymalnego odchylenia wahadła.

Siłę napięcia nici określa wzór

$T(\theta )=F_{r}-mg{\text{cos}}\,\theta =-mg(3{\text{cos}}\,\theta -2{\text{cos}}\,\theta _{0})$

W przyjętym tu układzie współrzędnych biegunowych, który jest zgodny z więzami, wyznaczenie siły reakcji więzów jest niepotrzebne do opisu ruchu wahadła. Wyznaczenie tej siły byłoby konieczne, gdyby siły opisywać w układzie współrzędnych kartezjańskich, jak to jest w ujęciu mechaniki klasycznej podanym przez Newtona. Dobór układu współrzędnych zgodnych z więzami stanowi podstawę sformułowania mechaniki klasycznej w ujęciu mechaniki Lagrange’a.

Ruch podwójnego wahadła matematycznego.

Uogólnienia

Wahadło rzeczywiste, złożone z ciała zawieszonego na nici, może być traktowane jako wahadło matematyczne, jeżeli spełnione są następujące założenia:

• Rozmiary ciała są niewielkie w porównaniu do długości nici.
• Nić jest nieważka.
• Nić jest nierozciągliwa.
• Wahadłu nadano takie, że wykonuje drgania po okręgu w płaszczyźnie pionowej (a nie ruch po elipsie w płaszczyźnie poziomej).
• Na ciało działają jedynie siła ciężkości oraz siła reakcji nici (pomijalne są inne siły, np. siła oporów ruchu).

Wahadło matematyczne stanowi szczególny przypadek wahadła fizycznego (patrz niżej).

W fizyce rozważa się kilka modeli wahadeł, które nie spełniają założeń wahadła matematycznego lub fizycznego. Przykładami są:

• wahadło sferyczne – ciało na nierozciągliwej nici, ale jego ruch nie jest ograniczony do płaszczyzny, a odbywa się po elipsie,
• wahadło stożkowe – ciało na nierozciągliwej nici, a ciało porusza się po okręgu,
• wahadło podwójne – ciało wahadła jest punktem zawieszenia kolejnego wahadła, może być rozważane jako płaskie i sferyczne, matematyczne i fizyczne,
• wahadło z rozciągliwą nicią,
• wahadło cykloidalne – wahadło o okresie niezależnym od amplitudy drgań

Wahadło fizyczne

Jest to bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej w jednorodnym polu grawitacyjnym. Bryła ta może wykonywać obroty dookoła tej osi. Wahadło rozważa się jako ruch obrotowy bryły sztywnej. Na wychylone z położenia równowagi wahadło działa moment siły:

$M=mgd\sin \theta$

Równanie ruchu wahadła można wyrazić wzorem:

${\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}+{\frac {mgd}{I}}\sin \theta (t)=0$

Porównując to równanie z równaniem ruchu wahadła matematycznego, wprowadza się długość zredukowaną wahadła fizycznego

$\ell _{f}={\frac {I}{md}}$

Wówczas równanie ruchu wahadła fizycznego ma identyczną postać jak równanie ruchu wahadła matematycznego, co oznacza że wszystkie wnioski dotyczące ruchu wahadła fizycznego są identyczne z wnioskami dotyczącymi wahadła matematycznego. Przykładowo okres drgań zapisuje się jako:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell _{f}}{g}}}$

Rozważając wahadło matematyczne, czyli masę punktową zawieszoną na nieważkiej nici jako bryłę sztywną:

$I=m\ell$

$d=l$

Po podstawieniu tych wielkości do równań wahadła fizycznego otrzymuje się równania ruchu wahadła matematycznego. Oznacza to, że wahadło matematyczne może być uważane jako szczególny przypadek wahadła fizycznego.

Gdzie:

• $d$ – odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości bryły,
• $g$ – przyspieszenie ziemskie,
• $I$ – moment bezwładności wahadła względem osi obrotu,
• $m$ – masa wahadła,
• $\ell _{f}$ – długość zredukowana wahadła fizycznego.

Wahadło fizyczne stosuje się jako przyrząd do dokładnego pomiaru przyspieszenia ziemskiego. Przykładem wahadła do pomiaru przyspieszenia ziemskiego oraz jako przyrządu dydaktycznego jest wahadło rewersyjne.

Wahadło Foucaulta

Wahadło Foucaulta w Muzeum Sztuk i Rzemiosł w Paryżu; w miarę obrotu wahadło przewraca ustawione wokoło klocki.

Animacja ruchu wahadła Foucaulta w Paryżu widziana ze Słońca. Niebieska linia – trajektoria ciężarka. W środku umieszczono słupek, który rzuca cień Słońca. Zielona linia – rzut trajektorii ciężarka na obracającą się Ziemię (obrót dobowy Ziemi został wyolbrzymiony 1 obrót w 110 s).

Płaszczyzna drgań wahadła znajdującego się na Ziemi poza równikiem powoli obraca się względem Ziemi. Zjawisko to można wyjaśnić jako efekt działania siły Coriolisa wywołanej ruchem wahadła na obracającej się Ziemi. Wahadło umożliwiające obserwację tego efektu, jest nazywane wahadłem Foucaulta.

Okres obrotu płaszczyzny wahadła w dla obserwatora znajdującego się na obracającej się Ziemi opisuje wzór:

$T={\frac {24\operatorname {h} }{\sin \varphi }}$

gdzie $\varphi$ – szerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło. Np. dla szerokości geograficznej 52° (okolice Warszawy) okres wahadła Foucaulta wynosi około 30 h 27 min i maleje ze wzrostem szerokości geograficznej, na biegunach okres ten wynosi 24 h.

Drgania tłumione i wymuszone wahadła

W omówionych tu zagadnieniach opisane były drgania swobodne wahadła matematycznego i fizycznego, tj. drgania odbywające się jedynie pod wpływem siły ciężkości oraz siły reakcji nici czy podpory. Siły grawitacji są siłami zachowawczymi. Podobnie zachowawcze są rozważane tu siły reakcji, gdy punkt zaczepienia nici jest nieruchomy (siła reakcji nie zależy wtedy jawnie od czasu i działa prostopadle do chwilowego kierunku ruchu wahadła; w konsekwencji taka siła reakcji nie wykonuje pracy). Energia mechaniczna wahadła poddanego działaniu tylko tych sił byłaby zachowana i w konsekwencji powodowałaby jego nieustanny ruch.

Rzeczywiste układy drgające wprawione w ruch po pewnym czasie zatrzymują się pod wpływem oporów ruchu (np. oporów powietrza), chyba że działa się na nie siłą wymuszającą ruch, jak to jest w przypadku wahadeł zegarów wahadłowych. Uwzględnienie sił oporów ruchu lub sił wymuszających ruch prowadzi do równań wahadła tłumionego lub wymuszonego (por. Ruch harmoniczny tłumiony oraz Oscylator harmoniczny wymuszony).

Historia

• XVII w. – Galileusz w czasach swej młodości odkrył izochronizm wahadła, oraz że okres drgań zależy jako pierwiastek kwadratowy długości wahadła. Wykorzystywał wahadło do odmierzania czasu.
• 1644 – Mersenne wyznacza długość wahadła sekundowego (o okresie 1/2 sekundy),
• 1657 – Huygens przedstawia i patentuje zegar wahadłowy, wynalazek szybko rozprzestrzenia się.
• 1673 – Huygens przedstawia teorię wahadła, w tym zależność okresu drgań wahadła od miejsca zawieszenia wahadła fizycznego.
• 1687 – Newton w pracy Principia zauważa, że przyspieszenie ziemskie można wyrazić jako długość wahadła sekundowego.
• 1737 – Bouguer wykonuje pomiary przyspieszenia ziemskiego między innymi w Andach. Zauważa że do pomiaru przyspieszenia ziemskiego wygodniej jest określanie okresu wahania a nie długości wahadła sekundowego. Używając wahadeł porównuje gęstość Ziemi z gęstością Kordylierów.
• od 1735 – La Condamine prowadzi eksperymenty z wahadłami dopracowując i wykonując pomiar przyspieszenia ziemskiego w różnych miejscach.
• około 1792 – Picard, Bouguer, La Condamine i inni zakończone pracami Borda i Cassini konstruują przyrządy wykorzystujące wahadła, proponują by w długość wahadła o danym okresie przyjąć za jednostkę w tworzonym systemie jednostek miar. Pomysł nie został przyjęty.
• około 1792 – Borda i Cassini eliminują wpływ zawieszenia, prądów powietrza, wilgotności oraz temperatury, dokonują pomiaru długości wahadła sekundowego z dokładnością do 5 cyfr znaczących.
• Borda podaje zależność okresu wahadła od amplitudy.
• 1825/27 – Brassel doskonali układ pomiarowy oraz wprowadza układ optyczny do obserwacji ruchu wahadła.
• 1817 – Henry Kater konstruuje wahadło rewersyjne dając impuls do dokładnych i bezwzględnych pomiarów przyspieszenia ziemskiego.
• 1827-1840 – Francis Baily konstruuje różne wahadła w tym wahadło poruszające się w próżni.

Zobacz też

przyrządy będące wahadłami

• wahadło balistyczne
• wahadło Oberbecka
• wahadło radiestezyjne
• wahadło rewersyjne
• wahadło Newtona
• wahadło zegarowe

wahadła

• wahadło sprężynowe
• wahadło torsyjne

Inne

• Tautochrona (fizyka)

Bibliografia

• M. Jeżewski, Fizyka, PWN, Warszawa 1966.
• C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman: Mechanika. Warszawa: PWN, 1993.
• W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012.
• L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Mechanika. Warszawa: PWN, 2011.
• Robert Resnick, David Halliday: Fizyka. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-09323-4.
• A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1976.

Linki zewnętrzne

• S. Banach, Mechanika, Część I. Monografie Matematyczne 8, Warszawa-Lwów-Wilno 1938, str. V+234
• Ćwiczenie Pomiar natężenia pola grawitacyjnego w Siedlcach przy pomocy modelu wahadła matematycznego – w ramach zestawu ćwiczeń do fizyki na Wydziale Nauk Ścisłych Uniwersytetu Przyrodniczo-Humanistycznego w Siedlcach
• Wahadło fizyczne (ang.)