Twierdzenie Gaussa (algebra)

Twierdzenie Gaussa (również lemat Gaussa) – twierdzenie algebry udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa.

Wielomian pierwotny

Wielomian pierwotny to wielomian o współczynnikach z ciała $F,$ będącego ciałem ułamków pewnego pierścienia $R,$ którego współczynniki są całkowite nad $R$ oraz nie mają, poza jednościami, wspólnych czynników w $R.$

Przykładowo wielomian $3-5x^3$ jest pierwotny, ale $3-9x^2$ nie jest (gdy $R$ jest, na przykład, pierścieniem liczb całkowitych).

Twierdzenia

Twierdzenie Gaussa mówi, że

Iloczyn dwóch wielomianów pierwotnych jest wielomianem pierwotnym.

Korzystając z tego twierdzenia można dowieść poniższego, często nazywane także lematem Gaussa:

Jeżeli $R$ jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to $R[x]$ (pierścień wielomianów nad $R$) także jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

Bibliografia

• Garrett Birkhoff, Saunders Mac Lane: Przegląd algebry współczesnej. Warszawa: PWN, 1966, s. 91-93.