Twierdzenie Gaussa (algebra)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy twierdzenia algebraicznego. Zobacz też: twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa oraz inne lematy Gaussa.

Twierdzenie Gaussa (również lemat Gaussa) – twierdzenie algebry udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa.

Wielomian pierwotny[edytuj | edytuj kod]

Wielomian pierwotny to wielomian o współczynnikach z ciała F, będącego ciałem ułamków pewnego pierścienia R, którego współczynniki są całkowite nad R oraz nie mają, poza jednościami, wspólnych czynników w R.

Przykładowo wielomian 3-5x^3 jest pierwotny, ale 3-9x^2 nie jest (gdy R jest, na przykład, pierścieniem liczb całkowitych).

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Gaussa mówi, że

Iloczyn dwóch wielomianów pierwotnych jest wielomianem pierwotnym.

Korzystając z tego twierdzenia można dowieść poniższego, często nazywane także lematem Gaussa:

Jeżeli R jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to R[x] (pierścień wielomianów nad R) także jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]