Kula
Definicja intuicyjna |
Kula to zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli)[1]. |
Kula – uogólnienie pojęcia koła na więcej wymiarów, zdefiniowane dla wszystkich przestrzeni metrycznych.
Definicja formalna
[edytuj | edytuj kod]Kula w danej przestrzeni metrycznej – zbiór elementów tej przestrzeni, zdefiniowany jako:
dla pewnych które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.
W wielu źródłach[2][3][4] tak zdefiniowany zbiór nazywany jest kulą domkniętą dla odróżnienia od zbioru określanego jako kula otwarta (inaczej kula bez brzegu) i definiowanego następująco:
Informacja ogólna
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Ball_with_d_r_and_o_marked.svg/220px-Ball_with_d_r_and_o_marked.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/Ball_taxi_metric.svg/250px-Ball_taxi_metric.svg.png)
Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).
Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne spełniają nierówność:
gdzie są współrzędnymi środka kuli, a oznacza jej promień, natomiast w układzie współrzędnych sferycznych, dla środka znajdującego się w środku układu współrzędnych:
- dla
W -wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie i promieniu to zbiór punktów których współrzędne spełniają nierówność:
Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.
Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni o metryce Manhattan do kuli należą punkty, spełniające nierówność:
Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest
Związane pojęcia
[edytuj | edytuj kod]Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.
Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej (zobacz średnica zbioru).
Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w środku kuli.
Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej
[edytuj | edytuj kod]- „Pole” -wymiarowe jej (hiper)powierzchni
- Objętość 3-wymiarowej kuli: [5]
- Pole powierzchni 3-wymiarowej kuli: [5]
W powyższych wzorach jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś oznacza funkcję gamma. Pomimo że funkcja gamma jest niezdefiniowana dla niedodatnich liczb całkowitych, uogólnione objętości i powierzchnie -wymiarowych hiperkul to funkcje holomorficzne wymiaru zespolonego . Są one zatem zdefiniowane w każdym wymiarze[6][7].
Uwaga: Brzegiem -wymiarowej kuli jest -wymiarowa sfera.
Uogólnienie topologiczne
[edytuj | edytuj kod]W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- czasza kuli (odcinek kuli)
- hiperkula
- sfera
- warstwa kulista
- wycinek kuli
- kula ziemska
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ kula, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-05-19] .
- ↑ Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2000, s. 149. ISBN 83-204-2334-1.
- ↑ Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. I Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 34, 38, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 38.
- ↑ Witold Kołodziej: Wybrane rozdziały analizy matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982, s. 20, 21, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 36.
- ↑ a b Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 14, ISBN 978-83-940902-1-0 .
- ↑ Szymon Łukaszyk , Novel Recurrence Relations for Volumes and Surfaces of n-Balls, Regular n-Simplices, and n-Orthoplices in Real Dimensions, t. 10, Mathematics, 2022, s. 2212, DOI: 10.3390/math10132212 .
- ↑ Szymon Łukaszyk , Omnidimensional Convex Polytopes, t. 15, Symmetry, 2023, s. 755, DOI: 10.3390/sym15030755 .