Regularność funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Niech funkcja f\colon\mathcal{U}\to{}\mathbb{R}, gdzie \mathcal{U}\subseteq{}\mathbb{R}^n. Funkcja f jest regularna rzędu k \in \mathbb{N}\cup\{\infty\} (jest klasy C^k(\mathcal{U})), co oznaczamy f \in C^k(\mathcal{U}), jeśli wszystkie pochodne cząstkowe funkcji f, do rzędu k włącznie, są ciągłe i istnieją w całej dziedzinie \mathcal{U}.

Regularność f \in C^0 oznacza, że funkcja f jest ciągła. Funkcję f \in C^{\infty} nazywa się funkcją gładką, jest ona dowolnie wysokiej regularności, tj. istnieją pochodne wszystkich rzędów i są ciągłe. Ponadto dla klasy funkcji analitycznych stosuje się oznaczenie C^\omega.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  1. Funcja moduł f(x)\!=\!|x| jest ciągła w każdym punkcie, pochodna f'(0) nie istnieje, więc f \in C^0, ale f \notin C^1.
  2. Funcja g(x)=e^{5x} jest różniczkowalna dowolnie wiele razy, zatem g \in C^{\infty}.
  3. Funkcja:
f(x) = \begin{cases}x^2\sin{(1/x)} & \mbox{dla }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{dla }x = 0\end{cases}

ma pochodną określoną w całej dziedzinie, ale pochodna ta nie jest ciągła w punkcie x=0, nie jest więc klasy C^1(\mathbb{R}).