Regularność funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Niech będzie dana funkcja , gdzie oraz . Funkcję nazywamy funkcją regularną rzędu na , jeżeli:

a) wszystkie pochodne cząstkowe funkcji do rzędu włącznie istnieją w całej dziedzinie ,

b) pochodne te są ciągłe w całej dziedzinie .

Mówimy też, że funkcja jest klasy i piszemy .

Regularność oznacza, że funkcja jest ciągła. Funkcję nazywa się funkcją gładką, jest ona dowolnie wysokiej regularności, tj. istnieją pochodne wszystkich rzędów i są ciągłe. Ponadto dla klasy funkcji analitycznych stosuje się oznaczenie .

Przykłady[edytuj]

  1. Funkcja , gdzie oznacza wartość bezwzględną, jest ciągła w każdym punkcie dziedziny rzeczywistej , jednak pochodna nie istnieje, więc jest klasy .
  2. Funkcja:
ma pochodną określoną w całej dziedzinie rzeczywistej , ale pochodna nie jest ciągła; zatem jest klasy .
3. Funkcja jest różniczkowalna dowolnie wiele razy. Zatem , czyli jest gładka.