Funkcja regularna

Funkcja regularna – wieloznaczny termin matematyczny, używany w analizie i geometrii algebraicznej.

Analiza rzeczywista

Wykres funkcji $f(x):=\exp(-1/x),$ $x>0,$ $f(x):=0,$ $x\leqslant 0.$ W zerze, tj. dla $x=0,$ jest gładka (klasy $C^{\infty }$), jednak nie jest tam analityczna (klasy $C^{\omega }$), ponieważ jej wszystkie pochodne znikają.

Definicja

Funkcja regularna to funkcja różniczkowalna określoną liczbę razy. Dokładniej:

Niech będzie dana funkcja $f\colon {\mathcal {U}}\to {}\mathbb {R} ,$ gdzie ${\mathcal {U}}\subseteq {}\mathbb {R} ^{n}$ oraz $k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}.$

Funkcję $f$ nazywamy funkcją regularną rzędu $k$ na ${\mathcal {U}},$ jeżeli:

• wszystkie pochodne cząstkowe funkcji $f$ do rzędu $k$ włącznie istnieją w całej dziedzinie ${\mathcal {U}}$
• pochodne te są ciągłe w całej dziedzinie ${\mathcal {U}}.$

Mówimy też, że funkcja jest klasy $C^{k}({\mathcal {U}})$ i piszemy $f\in C^{k}({\mathcal {U}}).$

Regularność $f\in C^{0}$ oznacza, że funkcja $f$ jest ciągła. Funkcję $f\in C^{\infty }$ nazywa się funkcją gładką; jest ona dowolnie wysokiej regularności, to znaczy istnieją pochodne wszystkich rzędów. Ponadto dla klasy funkcji analitycznych stosuje się oznaczenie $C^{\omega }.$

Niektórzy autorzy używają innych, słabszych definicji. Czasem funkcje regularne definiuje się szerzej – wystarczy, że pochodna funkcji jest ciągła przedziałami, a gładkość to pełna ciągłość pochodnej.

Przykłady

1. Funkcja $f(x)\!=\!|x|,$ gdzie $|x|$ oznacza wartość bezwzględną, jest ciągła w każdym punkcie dziedziny rzeczywistej $\mathbb {R} ,$ jednak pochodna $f'(0)$ nie istnieje, więc $f$ jest klasy $C^{0}(\mathbb {R} ).$
2. Funkcja:
    $f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {(1/x)}&{\text{dla }}x\neq 0,\\0&{\text{dla }}x=0\end{cases}}$
   ma pochodną określoną w całej dziedzinie rzeczywistej $\mathbb {R} ,$ ale pochodna $f'(0)$ nie jest ciągła; zatem $f$ jest klasy $C^{0}(\mathbb {R} ).$
3. Funkcja $f(x)=e^{5x}$ jest różniczkowalna dowolnie wiele razy. Zatem $f\in C^{\infty },$ czyli $f$ jest gładka.

Analiza zespolona

Funkcja regularna to funkcja analityczna i jednoznaczna na jakimś obszarze.

Bibliografia

• Jerzy Jurkiewicz: Geometria algebraiczna [w:] Leksykon matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1995. ISBN 83-214-0783-8.
• Michał Krych: Analiza matematyczna dla ekonomistów. Wyd. I. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-235-0776-5.
• Antoni Smoluk: Analiza matematyczna. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-634-3.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Smooth Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-23].