Trójka uporządkowana

Trójka uporządkowana – zbiór zbudowany z obiektów $x,y,z$ tak, aby była określona kolejność tych elementów, oznaczany zazwyczaj symbolem $(x,y,z)$. Elementy trójki uporządkowanej nazywa się jej współrzędnymi. Przy powyższym zapisie, $x$ nazywa się pierwszą współrzędną, $y$ – drugą współrzędną, a $z$ – trzecią współrzędną.

Definicje formalne

Za pomocą pary

Formalnie, przy pomocy pojęcia pary uporządkowanej, definiuje się trójkę uporządkowaną $(x,y,z)$ jako parę uporządkowaną $((x,y),z)$. Korzystając z definicji pary Kuratowskiego, trójka wyglądała by wówczas tak:

$(x,y,z)=((x,y),z)=(\{\{x\},\{x,y\}\},z)={\Bigl \{}{\Bigl \{}\{\{x\},\{x,y\}\}{\Bigr \}},{\Bigl \{}\{\{x\},\{x,y\}\},z{\Bigr \}}{\Bigr \}}$

Analogicznie można zdefiniować n-kę uporządkowaną uporządkowaną, dla każdego $n\geq 3$.

Niezależnie od pary

Można zdefiniować trójkę niezależnie od pojęcia pary, na podobnej zasadzie jak krótką parę Kuratowskiego:

$(x,y,z)={\Bigl \{}x,\{x,y\},\{x,y,z\}{\Bigr \}}$

Własności i zastosowanie

Można udowodnić twierdzenie stwierdzające, że $(a,b,c)=(d,e,f)\Leftrightarrow (a=d\wedge b=e\wedge c=f)$.

Trójki uporządkowane stosowane są np. do zapisu współrzędnych punktów w przestrzeniach trójwymiarowych.