Zawężenie funkcji

Zawężenie   a. obcięcie funkcji  (rzad. restrykcja funkcji ) – ograniczenie dziedziny danej funkcji do pewnego jej podzbioru . Dokładniej, zawężenie danej funkcji $f\colon X\to Y$ do zbioru $U\subset X$ jest funkcją $g\colon U\to Y,$ której dowolny argument $u\in U$ spełnia równość $g(u)=f(u)$ .

Ujęcie teoriomnogościowe

Niech dana będzie relacja funkcyjna $f\subset X\times Y$ oraz ustalony podzbiór $U\subset X.$ Zawężeniem $f|_{U}$ funkcji $f$ do zbioru $U$ jest relacja

$f\cap (U\times Y)$ = $\{(x,y)\in f\colon x\in U\}.$

Relacja $f|_{U}$ również jest relacją funkcyjną, co wynika z następującego rozumowania:

jeśli $(u,y_{1})\in f|_{U}$ oraz $(u,y_{2})\in f|_{U},$ to $(u,y_{1})\in f$ oraz $(u,y_{2})\in f,$ skąd $y_{1}=y_{2}$.

Równoważnie definicję obcięcia funkcji można wyrazić za pomocą złożenia funkcji (złożenia relacji):

$f|_{U}=f\circ \Delta _{U},\quad {}$ gdzie $\Delta _{U}:=\{(x,x)\in X\times X\colon x\in U\}.$

Definicja ta jest równoważna poprzedniej bowiem

${\begin{aligned}f\circ \Delta _{U}&=\{(x,y)\in X\times Y\colon \;\exists _{u\in U}\ (x,u)\in \Delta _{U}\;{\text{ oraz }}\;(u,y)\in f\}\\&=\{(x,y)\in X\times Y\colon \;\exists _{u\in U}\ x=u\;{\text{ oraz }}\;(u,y)\in f\}\\&=\{(x,y)\in f\colon x\in U\}=f|_{U}.\end{aligned}}$

Zobacz też

• funkcja częściowa

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2015. ISBN 978-83-01-15232-1.
• Obcięcie funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2018-12-22] .
• Anna Barbaszewska-Wiśniowska: Restrykcja (zawężenie) funkcji. [w:] e-podręcznik AGH [on-line]. 2018.