Grupa bijekcji

Grupa bijekcji – grupa wszystkich bijekcji ustalonego zbioru z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako funkcja odwrotna).

Grupy te nazywa się również grupami symetrycznymi, choć często rozumie się przez to grupy permutacji (czyli bijekcji zbiorów skończonych). Grupy bijekcji zbioru $X$ oznaczane są często $\mathrm {S} (X),$ choć stosuje się też inne oznaczenia, np. $\mathrm {Bij} (X)$, $\mathrm {Sym} (X),$ czy $\Sigma _{X}.$

Liczba elementów (tj. rząd) grupy bijekcji zbioru $X$ wynosi $|X|!;$ w przypadku skończonym zapis ten należy rozumieć jako silnię, w nieskończonym jako $|X|!=2^{|X|}$ (na podstawie twierdzenia Cantora–Bernsteina–Schrödera).

Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę bijekcji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup bijekcji dotyczą również dowolnych grup abstrakcyjnych.

Przykłady

Jeśli $X=\varnothing$ jest zbiorem pustym, to grupa bijekcji składa się z jednego elementu, $\varnothing \to \varnothing$ (bijekcji pustej). Gdy $X=\mathbb {N}$ jest zbiorem liczb naturalnych, to grupa bijekcji jest mocy continuum, gdyż $2^{\mathbb {N} }={\mathfrak {c}}.$