Ułamek
Ułamek – wyrażenie postaci gdzie nazywane licznikiem, oraz nazywane mianownikiem[1], są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.
Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera, bowiem iloraz jest nieokreślony.
Liczby wymierne[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.
Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności[2], a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa[3]. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. staje się
Działania na ułamkach[edytuj | edytuj kod]
Dla każdego ułamek jest równy Operację zamiany na nazywa się rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś skróceniem ułamka.
Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:S
- na przykład:
Przedstawienie liczby w postaci ułamka prowadzi do wzorów:
Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:
Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:
Liczba może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb i
Aby sprowadzić ułamek do postaci nieskracalnej, należy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik ułamka przez jak najwyższą możliwą liczbę (musi być taka sama!), np.:
Wzór:
- lub można skrócić na gdzie oraz
Ułamek jest w postaci nieskracalnej, jeżeli licznik i mianownik nie mają wspólnych liczb, przez które można podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty (nie licząc 1) lub ma postać gdzie
Przykład: Ułamek jest nieskracalny, ponieważ 9 jest podzielne przez 1, 3, 9, a mianownika nie można bez reszty podzielić przez ani 3, ani 9, a dzielenie przez 1 nie zmienia ułamka.
Ułamki często wykorzystywane są do obliczania stóp procentowych, gdzie stopa procentowa wyrażana jest jako ułamek[4], na przykład 5% to
Przykład: Obliczenie rocznych odsetek z lokaty 1000 zł przy stopie 5%: Odsetki = 1000 zł × = 50 zł
Wyrażenia wymierne[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.
Ciało ułamków[edytuj | edytuj kod]
- Osobny artykuł:
Dla każdego pierścienia całkowitego (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków.
Istotność założenia całkowitości pierścienia[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli dla niezerowych to
czyli
stąd zaś dla dowolnego
więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.
Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.
Typografia[edytuj | edytuj kod]
Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np.
W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku, co przydatne jest w formatowaniu w systemach pisma CJK. Są to:
Nazwa | Znak | Unicode | Kod HTML |
---|---|---|---|
Jedna czwarta | ¼ | U+00BC | ¼ lub ¼
|
Jedna druga | ½ | U+00BD | ½ lub ½
|
Trzy czwarte | ¾ | U+00BE | ¾ lub ¾
|
Jedna siódma | ⅐ | U+2150 | ⅐ lub ⅐
|
Jedna dziewiąta | ⅑ | U+2151 | ⅑ lub ⅑
|
Jedna dziesiąta | ⅒ | U+2152 | ⅒ lub ⅒
|
Jedna trzecia | ⅓ | U+2153 | ⅓ lub ⅓
|
Dwie trzecie | ⅔ | U+2154 | ⅔ lub ⅔
|
Jedna piąta | ⅕ | U+2155 | ⅕ lub ⅕
|
Dwie piąte | ⅖ | U+2156 | ⅖ lub ⅖
|
Trzy piąte | ⅗ | U+2157 | ⅗ lub ⅗
|
Cztery piąte | ⅘ | U+2158 | ⅘ lub ⅘
|
Jedna szósta | ⅙ | U+2159 | ⅙ lub ⅙
|
Pięć szóstych | ⅚ | U+215A | ⅚ lub ⅚
|
Jedna ósma | ⅛ | U+215B | ⅛ lub ⅛
|
Trzy ósme | ⅜ | U+215C | ⅜ lub ⅜
|
Pięć ósmych | ⅝ | U+215D | ⅝ lub ⅝
|
Siedem ósmych | ⅞ | U+215E | ⅞ lub ⅞
|
Jedna ... | ⅟ | U+215F | ⅟ lub ⅟
|
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ ułamek, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-30] .
- ↑ ułamek właściwy, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-30] .
- ↑ ułamek niewłaściwy, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-30] .
- ↑ Ułamki - dodawanie, mnożenie i dzielenie - SprawdzJak.pl [online], 7 stycznia 2024 [dostęp 2024-01-16] (pol.).