Dwumian Newtona
Dwumian Newtona, wzór dwumianowy, wzór dwumienny, wzór Newtona – tożsamość algebraiczna opisująca potęgę dwumianu jako sumę jednomianów postaci Jeśli wykładnik jest liczbą naturalną, to w każdym z tych jednomianów:
- wykładniki przy oraz sumują się do
- współczynniki są dodatnimi liczbami naturalnymi, znanymi jako współczynniki dwumianowe i opisane symbolami Newtona.
Nazwa wzoru pochodzi od nazwiska Isaaca Newtona, który w 1676 roku uogólnił go na wykładniki ujemne i ułamkowe[1]. Poprawność tego uogólnienia udowodnił w XIX wieku Niels Henrik Abel[2].
Wykładnik naturalny[edytuj | edytuj kod]
Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]
Jeśli są dowolnymi elementami dowolnego pierścienia przemiennego[a] (np. liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone), to każdą naturalną potęgę dwumianu można rozłożyć na sumę postaci
gdzie oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.
Przyjmując (także w przypadku, gdy lub ), można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej
- Uwagi
- W szczególności dla lub dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona
- Współczynniki dwumianowe są elementami wiersza w trójkącie Pascala.
- Przykłady
-
Dowód[edytuj | edytuj kod]
Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.
Dla jest
Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego Wtedy dla mamy
co kończy dowód.
Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]
Istnieje wzór na ogólniejsze potęgi sumy gdzie są rzeczywiste, oraz a wykładnik jest rzeczywisty lub zespolony. Wzór ten zawiera uogólniony symbol Newtona[potrzebny przypis]:
Historia[edytuj | edytuj kod]
Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise’owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane matematykom żyjącym przed nim:
- w IV w. p.n.e. grecki matematyk Euklides znał przypadek szczególny twierdzenia dla wykładnika nie większego niż 2[3][4];
- w III w. p.n.e. hinduski matematyk Pingala znał to twierdzenie dla wyższych wykładników[potrzebny przypis].
Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i trójkąt Pascala znali[5]:
- indyjski matematyk Halajuda w X w.;
- perski matematyk Omar Chajjam w XI w.;
- chiński matematyk Yang Hui w XIII w.
Uwagi[edytuj | edytuj kod]
- ↑ W ogólności łączność pierścienia można zastąpić alternatywnością.
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ dwumian Newtona, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-12-07] .
- ↑ Grzegorz Łukaszewicz , Baruch Spinoza i matematyka, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, styczeń 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-12-10] (pol.).
- ↑ Eric W. Weisstein , Binomial Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).
- ↑ J. L. Coolidge, The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), s. 147–157.
- ↑ James A. Landau: Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal’s Triangle. [w:] Archives of Historia Matematica [on-line]. 1999-05-08. [dostęp 2007-04-13].