Koło pakowane w okrąg
Wygląd
Koło pakowane w okrąg – dwuwymiarowy problem rozmieszczenia kół o stałym promieniu w okręgu o jak najmniejszym promieniu.
Tabela minimalnych rozwiązań problemu (w przypadku kilku rozwiązań przedstawiono tylko jeden wariant):[1]
Liczba okręgów wpisanych o promieniu r=1 | Promień okręgu, w który wpisane są okręgi | Gęstość | Optymalność rozwiązania | Schemat |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1.0000 | Trywialna. | |
2 | 2 | 0.5000 | Trywialna. | |
3 | ≈ 2.154... | 0.6466... | Trywialna. | |
4 | ≈ 2.414... | 0.6864... | Trywialna. | |
5 | ≈ 2.701... | 0.6854... | Trywialna, wykazana przez R. Grahama w 1968 r.[2] | |
6 | 3 | 0.6667... | Trywialna, wykazana przez R. Grahama w 1968 r.[2] | |
7 | 3 | 0.7778... | Trywialna. | |
8 | ≈ 3.304... | 0.7328... | Optymalność wykazana przez U. Pirla w 1969 r.[3] | |
9 | ≈ 3.613... | 0.6895... | Optymalność wykazana przez U. Pirla w 1969 r.[3] | |
10 | 3.813... | 0.6878... | Optymalność wykazana przez U. Pirla w 1969 r.[3] | |
11 | ≈ 3.923... | 0.7148... | Optymalność wykazana przez H. Melissena w 1994 r.[4] | |
12 | 4.029... | 0.7392... | Optymalność wykazana przez F. Fodora w 2000 r.[5] | |
13 | ≈4.236... | 0.7245... | Optymalność wykazana przez F. Fodora w 2003 r.[6] | |
14 | 4.328... | 0.7474... | Uważa się za optymalne.[7] | |
15 | ≈ 4.521... | 0.7339... | Uważa się za optymalne.[7] | |
16 | 4.615... | 0.7512... | Uważa się za optymalne.[7] | |
17 | 4.792... | 0.7403... | Uważa się za optymalne.[7] | |
18 | ≈ 4.863... | 0.7611... | Uważa się za optymalne.[7] | |
19 | ≈ 4.863... | 0.8034... | Optymalność wykazana przez F. Fodora w 1999 r.[8] | |
20 | 5.122... | 0.7623... | Uważa się za optymalne.[7] |
Podobne dane są dostępne na stronie internetowej Packomania w zakresie do 2600 kręgów.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Erich Friedman, Circles in Circles on Erich's Packing Center. [dostęp 2014-11-23]. [zarchiwizowane z tego adresu (2020-03-18)].
- ↑ a b R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.
- ↑ a b c U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.
- ↑ H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.
- ↑ F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.
- ↑ F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.
- ↑ a b c d e f Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ,Ostergard PRJ. Dense packings of congruent circles in a circle. Discrete Math 1998;181:139–154.
- ↑ F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.