Równanie Pfaffa

Równanie Pfaffa – typ równania różniczkowego cząstkowego o $2n+1$ zmiennych, rozważanego w geometrii różniczkowej. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka, Johanna Pfaffa.

Równanie Pfaffa

Niech $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem $\mathbb {R} ^{2n+1}$ oraz $f\colon D\to \mathbb {R}$ będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną w całym zbiorze $D.$ Rozwiązaniem (albo powierzchnią całkową równania) w zbiorze $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ równania

$f\left(x_{1},\dots ,x_{n},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{n}}}\right)=0$

nazywa się każdą taką funkcję $U\ni x\mapsto \zeta (x),$ że

$f\left(x,\zeta (x),{\frac {\partial \zeta }{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial \zeta }{\partial x_{n}}}\right)\equiv 0$ dla $x\in U.$

Równaniem Pfaffa w przestrzeni $\mathbb {R} ^{2n+1}$ zmiennych $x_{1},\dots ,x_{n},z,p_{1},\dots ,p_{n},$ nazywa się równanie różniczkowe cząstkowe

$dz-\sum _{i=1}^{n}p_{i}dx_{i}=0.$

Rozwiązania równania Pfaffa można interpretować jako $n$-wymiarowe powierzchnie w $\mathbb {R} ^{2n+1},$ spełniające warunek

$f(x,z,p)=0,$

przy czym $x=(x_{1},\dots ,x_{n}),\,p=(p_{1},\dots ,p_{n}).$

Zobacz też

• forma Pfaffa

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce