Zagadnienie własne dla operatora Laplace’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operator T odwrotny do operatora Laplace’a definiujemy następująco. Rozpatrzmy zagadnienie własne dla równania Poissona z zerowymi warunkami brzegowymi, tj.

gdzie jest wartością własną operatora Laplace’a, a funkcja funkcją własną. W języku przestrzeni Sobolewa możemy napisać, że . Zdefiniujmy operator:

następująco:

tj. jest słabym rozwiązaniem równania Poissona.

Własności operatora odwrotnego do operatora Laplace’a[edytuj | edytuj kod]

  1. Operator T jest dobrze określony, liniowy, ciągły.
  2. Operator T jest zwarty.
  3. Operator T jest samosprzężony.

Wartości własne operatora Laplace’a[edytuj | edytuj kod]

Z twierdzenia spektralnego dla operatorów zwartych i samosprzężonych wynika, że:

  1. Wszystkie wartości własne operatora Laplace’a na ograniczonym obszarze są dodatnie, mają skończone krotności, a jest punktem skupienia wartości własnych.
  2. Istnieje baza ortonormalna przestrzeni złożona z funkcji własnych laplasjanu.