Określoność formy

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

W algebrze liniowej, macierzą dodatnio określoną nazywamy macierz $A\;$ typu $n\times n$, która charakteryzuje się następującą właściwością:

• W przypadku, gdy $A\;$ jest macierzą zespoloną :

$A\;$ jest macierzą hermitowską i dla każdego niezerowego wektora $\textbf{x} \in \mathbb{C}^n$ zachodzi:

$\overline{\textbf{x}}^T A \textbf{x} > 0$.

• W przypadku, gdy $A\;$ jest macierzą rzeczywistą:

$A\;$ jest macierzą symetryczną i dla każdego niezerowego wektora $\textbf{x} \in \mathbb{R}^n$ zachodzi:

$\textbf{x}^{T} A \textbf{x} > 0$.

Równoważna definicja mówi, że wszystkie wartości własne macierzy $A\;$ są dodatnie.

Macierze ujemnie i nieujemnie określone

Jeśli dla macierzy hermitowskiej $A\;$ i niezerowego wektora $\textbf{x} \in \mathbb{C}^n$ zachodzi:

• $\overline{\textbf{x}}^T A \textbf{x} \geqslant 0$, wówczas $A\;$ jest macierzą nieujemnie określoną (półdodatnio określoną).
• $\overline{\textbf{x}}^T A \textbf{x} < 0$, wówczas $A\;$ jest macierzą ujemnie określoną.

Własności

Macierz dodatnio określona jest zawsze odwracalna i jej odwrotność jest również dodatnio określona. Jeśli $A\;$ i $B\;$ są dodatnio określone, to $A+B\;$ jest dodatnio określona.

Dla macierzy dodatnio określonej i symetrycznej $A\;$ istnieje odwracalna macierz $M\;$, taka że:

$M M^T = A\,$

czyli, istnieje dla niej rozkład Choleskiego.