Ogólna teoria względności

Albert Einstein – twórca ogólnej teorii względności

Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907–1915, a opublikowanej w roku 1916.

Zgodnie z ogólną teorią względności, siła grawitacji wynika z lokalnej geometrii czasoprzestrzeni. Aparat matematyczny tej teorii został opracowany w pracach takich matematyków, jak János Bolyai i Carl Friedrich Gauss. Ogólnie geometria nieeuklidesowa została rozwinięta przez ucznia Gaussa, Georga Bernharda Riemanna, ale nieeuklidesowa geometria czasoprzestrzeni stała się znana szerzej dopiero po tym, jak w opracowaną przez Einsteina szczególną teorię względności Hermann Minkowski wprowadził czasoprzestrzeń Minkowskiego (1907).

Teoria Einsteina zawiera nietrywialne treści fizyczne dotyczące koncepcji czasu, przestrzeni, geometrii czasoprzestrzeni, związków masy "bezwładnej" i "grawitacyjnej" (bezwładna to ta występująca w zasadach dynamiki Newtona, a grawitacyjna – w prawie powszechnego ciążenia) oraz spostrzeżenia dotyczące równoważności grawitacji i sił bezwładności. Jest ona uogólnieniem szczególnej teorii względności obowiązującej dla inercjalnych układów odniesienia na dowolne, także nieinercjalne układy odniesienia. Korzysta ona z metod rachunku tensorowego, geometrii nieeuklidesowej, teorii przestrzeni Riemanna itp.

Droga do OTW, geometrie nieeuklidesowe

Gauss dostrzegł jako pierwszy, że geometria przestrzeni fizycznej nie musi być euklidesowa. Zauważył on, że możliwe jest budowanie logicznie spójnej i prawidłowej z matematycznego punktu widzenia geometrii odrzucając piąty z aksjomatów Euklidesa o prostych równoległych. Nigdy jednak nie opublikował swoich przemyśleń na ten temat uważając, że nie zostaną właściwie zrozumiane. Gauss nie odnosił swoich idei do rzeczywistości fizycznej, a rozwijał je jedynie jako teorie matematyczne.

Za twórcę geometrii nieeuklidesowych uważa się współcześnie Janosa Bolyai, który jako pierwszy ogłosił prace, w których podał przykłady tego rodzaju geometrii. Poważny wkład do tej dziedziny wniósł Georg Riemann konstruując swoją teorię rozmaitości różniczkowych. Bardzo istotną, choć czysto techniczną rolę otwierającą możliwości budowy OTW Einsteina odegrali Christofel, Ricci i inni twórcy rachunku tensorowego. Znaczący wkład należał zwłaszcza do Bianchiego, który udowodnił tożsamości nazwane jego imieniem.

W życiu codziennym można także zaobserwować geometrie nieeuklidesowe. Na przykład powierzchnia Ziemi jest sferą i jako taka posiada pewną krzywiznę, zaś suma kątów w trójkątach na globusie jest większa niż 180 stopni. Istnieją także pomiary, w przypadku których można bezpośrednio wykryć, że geometria czasoprzestrzeni jest nieeuklidesowa. Przykładem jest doświadczenie Pounda-Rebki (1959), w którym wykryto zmianę długości fali światła pochodzącego od źródła kobaltowego, wznoszącego się przeciwko sile grawitacji na wysokość 22,5 metra, w szybie znajdującym się w Jefferson Physical Laboratory w Harvard University. Także zegary atomowe w satelitach GPS krążących wokół Ziemi muszą uwzględniać poprawkę związaną z efektami grawitacji. Przykłady te jednak nie były dostępne w czasach Gaussa i Riemanna.

OTW Einsteina

Podstawową ideą teorii względności jest to, że nie możemy mówić o wielkościach fizycznych takich jak prędkość czy przyspieszenie, nie określając wcześniej układu odniesienia, oraz że układ odniesienia definiuje się poprzez wybór pewnego punktu w czasoprzestrzeni, z którym jest on związany. Oznacza to, że wszelki ruch określa się i mierzy względem innych określonych układów odniesienia. W ramach tej teorii, inaczej niż w szczególnej teorii względności, która podawała opis ruchu w inercjalnych (nieprzyspieszających) układach odniesienia, opis ruchu prowadzony jest w dowolnych układach odniesienia, inercjalnych lub nieinercjalnych. Podstawowym założeniem jest takie sformułowanie praw fizycznych i opisu ruchu, aby miały one identyczną postać matematyczną bez względu na używany do opisu układ odniesienia, stąd konieczność zastosowania rachunku tensorowego. Jednym z postulatów ogólnej teorii względności jest zasada równoważności, mówiąca, że nie można (lokalnie) rozróżnić spadku swobodnego w polu grawitacyjnym od ruchu w układzie nieinercjalnym. Z postulatu tego wynika, że masa bezwładna i grawitacyjna są sobie równoważne. Dokładniej równość mas: grawitacyjnej i bezwładnej określana jest mianem słabej zasady równoważności (WEP), natomiast pełna zasada równoważności Einsteina głosi, że wynik dowolnego, lokalnego doświadczenia niegrawitacyjnego jest niezależny od prędkości swobodnie spadającego układu odniesienia i jest zgodny z przewidywaniami STW (tzw. lokalna niezmienniczość lorentzowska) i wynik ten jest niezależny od miejsca i czasu (tzw. lokalna niezmienniczość na położenie). W badaniach wykazano, że ogólna teoria względności jest sprzeczna z zasadą Macha.

OTW mówi, że z daną dokładnością można definiować jedynie lokalne układy odniesienia, dla skończonych przedziałów czasu i ograniczonych obszarów w przestrzeni. Jest to analogia z rysowaniem map fragmentów powierzchni Ziemi – nie można sporządzić mapy obejmującej całą powierzchnię Ziemi bez deformacji. Zasady dynamiki Newtona są w ogólnej teorii względności zachowane w lokalnych układach odniesienia. W szczególności cząstki, na które nie działa żadna siła, poruszają się po liniach prostych w lokalnych inercjalnych układach odniesienia. Jednak jeżeli linie te się przedłuży, to nie otrzymujemy linii prostych, lecz krzywe zwane geodezyjnymi. Dlatego też pierwsza zasada dynamiki Newtona zostaje zastąpiona przez zasadę poruszania się po geodezyjnej.

Odróżniamy inercjalne układy odniesienia, w których ciała fizyczne nie zmieniają swojego stanu ruchu, jeżeli nie oddziałują z żadnym innym ciałem fizycznym, od nieinercjalnych układów odniesienia, w których poruszające się ciała mają przyspieszenie pochodzące od układu odniesienia. W tych drugich pojawia się pozorna siła wynikająca z przyspieszenia samego układu odniesienia, a nie z oddziaływania z innym ciałem fizycznym. W związku z tym np. odczuwamy siłę odśrodkową wtedy, gdy samochód, będący naszym układem odniesienia, skręca. Podobnie obserwujemy Efekt Coriolisa i tzw. siłę odśrodkową wtedy, gdy układem odniesienia jest ciało będące w ruchu obrotowym (na przykład bąk-zabawka lub Ziemia). Zasada równoważności w ogólnej teorii względności mówi, że w układzie lokalnym nie można przeprowadzić doświadczenia, dzięki któremu dałoby się odróżnić spadek swobodny w polu grawitacyjnym od ruchu jednostajnego przy braku pola grawitacyjnego. Mówiąc w skrócie, w układzie odniesienia związanym z ciałem spadającym swobodnie nie ma grawitacji. Oznacza to, że obserwowana na powierzchni Ziemi grawitacja jest siłą obserwowaną w układzie odniesienia związanym z materią na powierzchni, która nie jest "wolna", lecz na którą oddziałuje materia z wnętrza Ziemi i sytuacja ta jest analogiczna do sytuacji w skręcającym samochodzie.

Matematycznie, Einstein modeluje czasoprzestrzeń przy pomocy czterowymiarowej pseudoriemannowskiej rozmaitości, a z jego równania pola wynika, że krzywizna rozmaitości w punkcie jest bezpośrednio związana z tensorem napięć-energii w tym punkcie; tensor ten jest miarą gęstości materii i energii. Krzywizna określa sposób, w jaki materia się porusza, a materia określa sposób, w jaki przestrzeń się zakrzywia. Równanie pola nie jest dowiedzione w sposób jednoznaczny i istnieje możliwość zaproponowania innych modeli, pod warunkiem, że nie będą stały w sprzeczności z obserwacjami.

Ogólna teoria względności wyróżnia się spośród innych teorii grawitacji swoją prostotą powiązania materii i krzywizny, chociaż wciąż nie istnieje teoria unifikacji pomiędzy ogólną teorią względności a mechaniką kwantową i nie potrafimy zastąpić równania pola bardziej ogólnym prawem kwantowym. Niewielu fizyków wątpi w to, że taka teoria wszystkiego będzie zawierała w sobie ogólną teorię względności, tak jak ogólna teoria względności zawiera w sobie prawo powszechnego ciążenia Newtona w zakresie nierelatywistycznym.

Równanie pola Einsteina zawiera parametr zwany stałą kosmologiczną Λ, która została wprowadzona przez Einsteina po to, aby Wszechświat pozostał statyczny (tzn. nierozszerzający i niezapadający się). Ta próba zakończyła się niepowodzeniem z dwóch powodów: statyczny Wszechświat opisywany przez tę teorię byłby niestabilny, co więcej, obserwacje prowadzone przez Hubble'a dekadę później pokazały, że nasz Wszechświat nie jest statyczny, lecz się rozszerza. Dlatego też zrezygnowano ze stałej Λ, lecz ostatnie obserwacje supernowych typu Ia wskazują na to, że być może należy ją ponownie wprowadzić do równań.

Równania teorii

Ogólna teoria względności wiąże geometrię czasoprzestrzeni z rozkładem materii. Czasoprzestrzeń jest zbiorem punktów (dokładniej rozmaitością różniczkową), której punktom przyporządkowuje się cztery współrzędne x^μ=(x⁰=ct, x¹, x², x³). Odległość między dwoma punktami o współrzędnych x^μ i x^μ+dx^μ zadaje:

$ds^{2}=g_{\mu \nu }(x)dx^{\mu }dx^{\nu }\,$

(1)

Gdy czasoprzestrzeń jest globalnie płaska – teoria przechodzi w szczególną teorię względności. W tym przypadku tensor metryczny

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

(2)

opisuje czasoprzestrzeń Minkowskiego. Poczucie lokalnej płaskości zakrzywionej czasoprzestrzeni (zasada równoważności) oznacza możliwość przejścia do takiego układu współrzędnych, by

$g_{\mu \nu }={e^{a}}_{\mu }{e^{b}}_{\nu }\eta _{ab},$

(3)

Pola e^a_b(x) nazywamy polami reperów. Cała informacja o zakrzywieniu czasoprzestrzeni zawarta jest w tych polach. Z punktu widzenia matematycznego pola reperów są formami różniczkowymi.

$e^{a}={e^{a}}_{\mu }dx^{\mu }.$

(4)

Formy te można przeskalować (lokalna transformacja cechowania), a tensor metryczny nie ulega zmianie

$e^{a}\rightarrow e'^{a}={\Lambda ^{a}}_{b}e^{b}$

(5)

gdzie Λ są macierzami Lorentza tworzącymi grupę Lorentza. Linie najkrótsze łączące dwa punkty (linie geodezyjne) nie są już liniami prostymi. Spełniają one równanie

${\frac {d^{2}x^{\lambda }}{ds^{2}}}+{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=0$

(6)

gdzie Γ jest symbolem Christoffela

${\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }(\partial _{\mu }g_{\rho \nu }+\partial _{\nu }g_{\rho \mu }-\partial _{\rho }g_{\mu \nu })$

(7)

W czasoprzestrzeni Minkowskiego wszystkie symbole Christoffela się zerują i linie najkrótsze są prostymi.

Zakrzywienie czasoprzestrzeni określa tensor krzywizny R^λ_μνρ i związany z nim tensor krzywizny Ricciego

$R_{\mu \nu }=\partial _{\nu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \lambda }-\partial _{\lambda }{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }-{\Gamma ^{\rho }}_{\mu \nu }{\Gamma ^{\sigma }}_{\rho \sigma }+{\Gamma ^{\rho }}_{\mu \sigma }{\Gamma ^{\sigma }}_{\nu \rho }$

(8)

oraz skalar krzywizny Ricciego R=g^μνR_μν. Oczywiście w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego wszystkie te wielkości są równe zero. Równanie Einsteina opisuje związek między zakrzywieniem czasoprzestrzeni (grawitacją) opisanym tensorem metrycznym g_μν, a rozkładem materii opisanym tensorem energii-pędu T_μν. Równanie Einsteina można wyprowadzić z ekstremum całki działania dla pola grawitacyjnego. Równanie to ma następującą postać:

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi }{c^{4}}}GT_{\mu \nu }$

(9)

gdzie: R_μν – tensor krzywizny Ricciego, R – skalar krzywizny Ricciego, g_μν – tensor metryczny, Λ – stała kosmologiczna, T_μν – tensor energii-pędu, π – liczba pi, c – prędkość światła w próżni, G – stała grawitacji. Natomiast g_μν opisuje metrykę rozmaitości i jest tensorem symetrycznym 4 × 4, ma więc 10 niezależnych składowych. Biorąc pod uwagę dowolność przy wyborze czterech współrzędnych czasoprzestrzennych, liczba niezależnych równań wynosi 6.

Rozkład materii w czasoprzestrzeni opisany jest przez tensor energii-pędu

$T_{\mu \nu }=(\epsilon +P)u_{\mu }u_{\nu }-g_{\mu \nu }P\,$

(10)

gdzie u jest wektorem jednostkowym u_μu^μ=1, ε jest przestrzennym rozkładem energii a P rozkładem ciśnienia.

W próżni gdy ε=0 i P=0 rozwiązaniem równań Einsteina jest przestrzeń Ricci płaska (R_μν=0, np. przestrzeń Minkowskiego, ale również rozwiązanie z metryką Karla Schwarzschilda). Jeżeli układ fizyczny opisuje ciało masywne, a ciśnienie jest niewielkie, wtedy ε=ρc² i źródłem grawitacji jest tylko rozkład masy ρ. W granicy gdy prędkość światła c dąży do nieskończoności, otrzymujemy teorię grawitacji Newtona.

Potwierdzenie teorii

Anomalie orbity Merkurego

Przewidywane orbity Merkurego – eliptyczna według teorii Newtona (czerwona) i rozetowa według teorii Einsteina (niebieska).

Świadectwem przeciw teorii Newtona i jednocześnie za teorią Einsteina była niezgodność ruchu Merkurego. Ruch tej planety wykazywał niewielkie odchylenia znane od drugiej połowy XIX stulecia, względem obliczeń wynikających z newtonowskich praw ruchu i grawitacji. Anomalia orbity Merkurego jest bardzo niewielka, wynosi 43 sekundy kątowe na każde sto lat. Żadne z proponowanych na gruncie teorii Newtona rozwiązań tego problemu nie okazało się skuteczne. W roku 1916 Einstein wyjaśnił ową niezgodność przy pomocy praw grawitacji w ogólnej teorii względności.

Ruch światła w zakrzywionej czasoprzestrzeni

Newton stwierdził w swojej Optyce, że światło może ulegać wpływowi grawitacji. Na mocy swojej teorii grawitacji przyjął on, że światło gwiazdy przechodzące w pobliżu Słońca na swojej drodze ku Ziemi odchyli się skutkiem grawitacji o kąt 0,87″. Do zaobserwowania tego zjawiska niezbędne jest wystąpienie zaćmienia Słońca. Teoria Einsteina przewiduje, że odchylenie to będzie dwukrotnie większe, czyli 1,74″.

Obserwacje potwierdziły (w granicach błędu eksperymentalnego), obliczenia wynikające z teorii Einsteina i po dziś dzień uważane są za jej kluczowe świadectwo. Powyższy eksperyment przeprowadzano wielokrotnie, przy jednoczesnym uściślaniu wyników pomiaru. Znacznie dokładniejsze pomiary przeprowadzone w latach 70. przez Hulsego i Taylora, przy obserwacji podwójnego układu pulsarów, również potwierdziły przewidywania tej teorii.

Do tej pory nie istnieją dane obserwacyjne mogące podważyć ogólną teorię względności, choć wiadomo, że nawet przy próbach połączenia z mechaniką kwantową, nie tłumaczy ona obecnego kształtu Wszechświata (patrz ciemna materia i ciemna energia).

Zobacz też

• współrzędne współporuszające się
• Gravity Probe B
• szczególna teoria względności

Linki zewnętrzne

• Intuicyjne wyjaśnienie równania pola (ang.)
• Living Reviews in Relativity – portal poświęcony ogólnej teorii względności