Funkcja σ

Funkcja σ (sigma) określona jest dla wszystkich liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników liczby, np.

$\sigma(6)=1+2+3+6=12\;$.

Czasami jest oznaczana przez $d(n)$.

Sumę $k$-tych potęg dzielników oznacza się przez $\sigma_k(n)$, np. $\sigma_0(n)$ to liczba dzielników liczby, znana również jako funkcja τ.

Liczby spełniające równanie $\sigma(n)=2n$ nazywa się liczbami doskonałymi.

Twierdzenia

Niech $n$ będzie liczbą naturalną o rozwinięciu na czynniki pierwsze postaci:

$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}\;$

Każdy dzielnik naturalny liczby $n$ można przestawić w postaci:

$d=p_1^{\lambda_1}p_2^{\lambda_2}\dots p_k^{\lambda_k}\;$

gdzie:

$\lambda_i\in\mathbb{Z},\ 0\leqslant\lambda_i\leqslant\alpha_i$

(1)

Ponieważ różnym układom liczb $\lambda_1\dots \lambda_k$ spełniającym (1) odpowiadają różne dzielniki $n$ więc:

$\sigma(n)=\sum p_1^{\lambda_1}p_2^{\lambda_2}\dots p_k^{\lambda_k}\;$

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb całkowitych spełniające (1).

Można także udowodnić, że:

$\sigma(n)=\frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdot \frac{p_2^{\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\cdot \dots \cdot \frac{p_k^{\alpha_k+1}-1}{p_k-1}$

Bibliografia

• Wacław Sierpiński: Teoria liczb. Warszawa-Wrocław: 1950, s. 113-116, seria: Monografie matematyczne (19). [dostęp 5 stycznia 2009].