Funkcja σ

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja σ (sigma) określona jest dla wszystkich liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników liczby, np.

\sigma(6)=1+2+3+6=12\;.

Czasami jest oznaczana przez d(n).

Sumę k-tych potęg dzielników oznacza się przez \sigma_k(n), np. \sigma_0(n) to liczba dzielników liczby, znana również jako funkcja τ.

Liczby spełniające równanie \sigma(n)=2n nazywa się liczbami doskonałymi.

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Niech n będzie liczbą naturalną o rozwinięciu na czynniki pierwsze postaci:

n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}\;

Każdy dzielnik naturalny liczby n można przestawić w postaci:

d=p_1^{\lambda_1}p_2^{\lambda_2}\dots p_k^{\lambda_k}\;

gdzie:

\lambda_i\in\mathbb{Z},\ 0\leqslant\lambda_i\leqslant\alpha_i
(1)

Ponieważ różnym układom liczb \lambda_1\dots \lambda_k spełniającym (1) odpowiadają różne dzielniki n więc:

\sigma(n)=\sum p_1^{\lambda_1}p_2^{\lambda_2}\dots p_k^{\lambda_k}\;

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb całkowitych spełniające (1).

Można także udowodnić, że:

\sigma(n)=\frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdot \frac{p_2^{\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\cdot \dots \cdot \frac{p_k^{\alpha_k+1}-1}{p_k-1}

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Wacław Sierpiński: Teoria liczb. Warszawa-Wrocław: 1950, s. 113-116, seria: Monografie matematyczne (19). [dostęp 5 stycznia 2009].