Ciąg Fareya

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

N\;-ty ciąg Fareya F_N to rosnący ciąg liczb wymiernych z przedziału [0 , 1], których mianowniki są nie większe od N\;.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • F_2 to: \frac 0 1,\ \frac 1 2,\ \frac 1 1.
  • F_3 to: \frac 0 1,\ \frac 1 3,\ \frac 1 2,\ \frac 2 3,\ \frac 1 1.
  • ciągiem F_4 jest: \frac 0 1,\ \frac 1 4,\ \frac 1 3,\ \frac 1 2,\ \frac 2 3,\ \frac 3 4,\ \frac 1 1.
  • F_6 to: \frac 0 1,\ \frac 1 6,\ \frac 1 5,\ \frac 1 4,\ \frac 1 3,\ \frac 2 5,\ \frac 1 2,\ \frac 3 5,\ \frac 2 3,\ \frac 3 4,\ \frac 4 5,\ \frac 5 6,\ \frac 1 1.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

  • Napisz ciąg \frac 0 1,\ \frac 1 1.
  • Tak długo, jak to możliwe wstawiaj pomiędzy liczby \frac a b, \frac c d, dla których b+d\le N\ liczbę \frac {a+c}{b+d} \;.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli liczby \frac a b oraz \frac{c}{d} są kolejnymi liczbami w (dowolnym) ciągu Fareya, to nie ma pomiędzy nimi liczby wymiernej o mianowniku mniejszym niż  b+d\;.
  • Jeśli liczby \frac a b oraz \frac{c}{d} są kolejmymi liczbami w (dowolnym) ciągu Fareya, to b\cdot c - a\cdot d =1 \;.

Przykład zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Znaleźć liczby m<\sqrt{\frac{1}{2}}<d\, najbliższe \sqrt{\frac{1}{2}}, których mianowniki są mniejsze od 50.

Mamy:

\frac 0 1 < \sqrt {\frac 1 2} < \frac 1 1

czyli

\frac 0 1 \le m < \sqrt {\frac 1 2} < d \le \frac 1 1

zachodzi nierówność: \frac {0+ 1}{1+1} \le m < \sqrt {\frac 1 2} więc:

\frac 1 2 \le m < \sqrt {\frac 1 2} < d \le \frac 1 1

zauważamy, że skrajne wartości są najlepszymi oszacowaniami spośród liczb o mianowniku nie większym niż 2.

Stwierdzamy, że \frac {1 +1}{2+1} = \frac 2 3 < \sqrt {\frac 1 2} czyli:

\frac 1 2<\frac 2 3 \le m < \sqrt {\frac 1 2} < d \le \frac 1 1

a zatem:

\frac 2 3 \le m < \sqrt {\frac 1 2} < d \le \frac 1 1

W kolejnych krokach dostajemy:

\frac 2 3 \le m < \sqrt {\frac 1 2} < d \le \frac 3 4
\frac 2 3 \le m < \sqrt {\frac 1 2} < d \le \frac 5 7
\frac 7 {10} \le m < \sqrt {\frac 1 2} < d \le \frac 5 7
\frac {12} {17} \le m < \sqrt {\frac 1 2} < d \le \frac 5 7
\frac {12} {17} \le m < \sqrt {\frac 1 2} < d \le \frac {17}{24}
\frac {12}{17} \le m < \sqrt {\frac 1 2} < d \le \frac {29}{41}

Liczby \frac {12}{17} oraz \frac{29}{41} są kolejnymi liczbami w ciągu Fareya, więc nie ma pomiędzy nimi liczby o mianowniku mniejszym niż 58, czyli są to poszukiwane liczby.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]