Liczby Sierpińskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Liczby Sierpińskiegonieparzyste liczby naturalne k takie, że k2n + 1 jest liczbą złożoną dla dowolnego naturalnego n.

Zatem, jeśli k jest liczbą Sierpińskiego, to wszystkie liczby w poniższym zbiorze są złożone:

\left\{\,k 2^n + 1 : n \in\mathbb{N}\,\right\}

W roku 1960 Wacław Sierpiński wykazał, że istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych k spełniających powyższy warunek.

Problem Sierpińskiego[edytuj | edytuj kod]

Problem Sierpińskiego to zagadnienie znalezienia najmniejszej liczby Sierpińskiego.

W 1962 r., John Selfridge wykazał że 78 557 jest liczbą Sierpińskiego. Ponadto wykazał on że jeśli k=78 557, to wszystkie liczby postaci k2n+1 posiadają rozkład na czynniki pierwsze zawarte w zbiorze {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}.

Ponadto w 1967 r. Sierpiński i Selfridge postulowali (lecz nie potrafili wykazać) iż 78 557 jest najmniejszą liczbą Sierpińskiego, a więc jest rozwiązaniem problemu Sierpińskiego.

Aby to udowodnić, trzeba wykazać, że wszystkie nieparzyste liczby mniejsze od 78 557 nie są liczbami Sierpińskiego. To znaczy, że istnieje takie n że k2n+1 jest liczbą pierwszą[1]. W listopadzie 2007 r. istniało tylko sześć liczb, które nie zostały wykluczone jako możliwe liczby Sierpińskiego i mogą stanowić rozwiązanie problemu[2]. Seventeen or Bust, jest rozproszonym projektem obliczeniowym sprawdzającym te liczby.

Jeśli projekt ten odnajdzie liczbę pierwszą właściwej postaci dla każdego z pozostałych k, to problem Sierpińskiego zostanie ostatecznie rozwiązany.

Znane wyniki[edytuj | edytuj kod]

Następujące k zostały wykluczone przez projekt Seventeen or Bust.

# k n Cyfry dla k·2n+1 Data odkrycia Znalezione przez
1 4 847 3 321 063 999 744 15 października 2005 Richard Hassler
2 5 359 5 054 502 1 521 561 6 grudnia 2003 Randy Sundquist
3 10 223
4 19 249 13 018 586 3 918 990 26 marca 2007 Konstantin Agafonow
5 21 181
6 22 699
7 24 737
8 27 653 9 167 433 2 759 677 8 czerwca 2005 Derek Gordon
9 28 433 7 830 457 2 357 207 30 grudnia 2004 Anonymous
10 33 661 7 031 232 2 116 617 13 października 2007 Sturle Sunde
11 44 131 995 972 299 823 6 grudnia 2002 deviced (pseudonim)
12 46 157 698 207 210 186 26 listopada 2002 Stephen Gibson
13 54 767 1 337 287 402 569 22 grudnia 2002 Peter Coels
14 55 459
15 65 567 1 013 803 305 190 3 grudnia 2002 James Burt
16 67 607
17 69 109 1 157 446 348 431 7 grudnia 2002 Sean DiMichele

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]