Krzywa łańcuchowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Linia łańcuchowa)
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Krzywe łańcuchowe

Krzywa łańcuchowa (linia łańcuchowa) – krzywa płaska opisująca kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie[1] swobodnie zwisającej pomiędzy dwiema różnymi podporami w jednorodnym polu grawitacyjnym.

Krzywa ta dana jest równaniem

y=a\cdot \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\,

(patrz cosinus hiperboliczny).

Wyprowadzenie równania[edytuj | edytuj kod]

Rysunek 1.0

Umieśćmy linię łańcuchową w układzie współrzędnych, tak jak na rysunku powyżej, symetrycznie względem osi OY. Potraktujmy łuk jako ciało materialne. Załóżmy, że krzywa jest w stanie równowagi. Łuk \widehat{AP}\, podlega działaniom trzech sił \vec{T}\,, \vec{t}\, i \vec{F}\,, gdzie

  • \vec{T}\, jest siłą naprężenia krzywej w punkcie A o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,
  • \vec{t}\, jest siłą naprężenia krzywej w punkcie P o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,
  • \vec{F}\, jest ciężarem łuku \widehat{AP}\, krzywej.

Korzystając z założenia o stanie równowagi dostajemy:

 \vec{t} +\vec{T}+\vec{F}=0\,.

Wektory  \vec{T}, \vec{F}\, są ortogonalne więc oznaczając przez \alpha\, kąt między wektorami  \vec{t}, \vec{F}\, dostaniemy tg\alpha=\frac{|\vec{F}|}{|\vec{T}|}\,.

Wiadomo, że |\vec{F}|= \delta\cdot g\ \cdot l\ ,, gdzie l\, jest długością łuku \widehat{AP}\,, \delta\, jest jego liniową gęstością, a g\, jest przyspieszeniem grawitacyjnym. Stąd tg\alpha=\frac{\delta \cdot g\ }{|\vec{T}|}\cdot l\, Ostatecznie dostajemy równanie różniczkowe:

l=a\cdot \frac{dy}{dx}\, , gdzie a=\frac{|\vec{T}|}{\delta \cdot g\ }\,.

Różniczkując je względem x\,

\frac{dl}{dx}=a\cdot \frac{d^{2}y}{dx^{2}}\,

i wykorzystuąc zależność dl^2=dx^2+dy^2\, dostajemy:

\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}=a\cdot \frac{d^{2}y}{dx^{2}}\,.

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego z warunkami początkowymi y(0)= a,\quad \dot y(0)= 0\,.

Podstawiając:

\frac{dy}{dx}=p(x)\,\quad\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{dp}{dx}\,

otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego:

\sqrt{1+p^{2}}=a\cdot \frac{dp}{dx}\,.

Rozdzielamy zmienne oraz całkujemy:

\int \frac{dp}{\sqrt{1+p^{2}}}=\int \left(\frac{1}{a} \right)\,dx\,
\operatorname{arsinh}(p) = \frac{x}{a} + C\,
p=\sinh\left(\frac{x}{a}+C\right)\,

Wracamy do podstawienia:

\frac{dy}{dx} = \sinh\left(\frac{x}{a}+C\right)\,
y = a \cdot \cosh\left(\frac{x}{a}+C\right)+D\,

Uwzględniając warunki początkowe otrzymujemy:

y = a \cdot \cosh \left(\frac{x}{a}\right)\,.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Kette Kettenkurve Catenary 2008 PD.JPG

A. Linia łańcuchowa znajduje zastosowanie przy badaniu wiszących lin (przewodów elektrycznych, lin metalowych)

Wiszącą linę charakteryzują pewne stałe: strzałka h, rozpiętość 2b, minimalne zawieszenie a, maksymalne zawieszenie d. W zastosowaniach przydatne są pewne zależności między tymi stałymi.

1. Wiadomo że długość linii łańcuchowej w przedziale <0,b> jest równa:

l=\sqrt{d^{2}-a^{2}}\,

skąd otrzymujemy zależność:

a=\frac{l^{2}-h^{2}}{2\cdot h}\,

2. Zgodnie z równaniem linii łańcuchowej:

h+a = a \cdot \cosh\left(\frac{b}{a}\right)\,

czyli:

h = a \cdot \cosh\left(\frac{b}{a}\right)-a\,

Po rozwinięciu prawej strony w szereg Maclaurina otrzymujemy:

h=a \left( 1+\frac{1}{2!}\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{1}{4!}\frac{b^{4}}{a^{4}}+ \frac{1}{6!}\frac{b^{6}}{a^{6}}+\cdots \right) - a \,

h=\frac{1}{2!}\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{4!}\frac{b^{4}}{a^{3}}+ \frac{1}{6!}\frac{b^{6}}{a^{5}}+\cdots \,

co daje przybliżoną zależność:

a\approx \left(\frac{b^{2}}{2\cdot h}\right)\,

3. W niektórych obliczeniach technicznych linie łańcuchową zastępuję się parabolą. Wynika to z rozwinięcia funkcji y=a\cdot \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\, w szereg Maclaurina. Rozwinięcie:

y=a\cdot \left( 1+\frac{1}{2!}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{1}{4!}\frac{x^{4}}{a^{4}}+ \frac{1}{6!}\frac{x^{6}}{a^{6}}+\cdots \right)\,

Dla dostatecznie dużej wartości a(dla małej wartości h) daje dobre przybliżenie linii łańcuchowej parabolą:

y\approx a+ \frac{x^{2}}{2a}\,

Łańcuch wiszącego mostu, podtrzymujący pionowymi linami(wantami) nawierzchnię mostu, ma na ogół kształt paraboli.

B. Linię łańcuchową wykorzystuję się przy projektowaniu stropów. Strop zwany arkadą ma kształt opisany równaniem:

y = c \cdot \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\,

Historia[edytuj | edytuj kod]

Pierwsze z rozważań o krzywej która przyjmuje kształt lekkiego, zwisającego łańcucha zamocowanego na końcach pojawia się w „Dialogach” Galileusza z 1632 roku. Stwierdza on iż jest to parabola. Nie ma tam wywodów, a zaledwie wyrażenie powszechnie przyjętego przekonania które prawdopodobnie wytworzyło się wiek wcześniej gdy Leonardo da Vinci szkicował w swych pracach zawieszone łańcuchy. Wygląda na to, że wszyscy, łącznie z Kartezjuszem, milcząco przyjmowali to za prawdę. Stwierdzenie takie pojawiło się w znanym i cenionym podręczniku Simona Stevina z 1634 r. i poręczał je w zamieszczonych w książce komentarzach Albert Girard, który twierdził też, że 17 lat wcześniej zdołał tego dowieść, ale nie miał w owym momencie czasu na zamieszczenie dowodu w książce Stevina. W 1646 roku Marin Mersene (znany matematyk zajmujący się między innymi teorią liczb) dostaje list od zamożnego rządowego funkcjonariusza z Niderlandów, znanego też ze swych poematów i kompozycji, Constantina Huygensa. W liście ojciec chwali się swoim zdolnym, 17-letnim synem Christiaanem. Zainteresowany Mersenne pisze do młodzika, a ten już w pierwszym liście oznajmia mu, że wbrew stwierdzeniu Galileusza, wiszący łańcuch nie tworzy paraboli lecz podobną do niej krzywą. Mersenne prosi o pokazanie dowodu i pyta jak przy pomocy dodatkowych obciążeń (czyli zewnętrznych sił) zmienić kształt krzywej, by przemieniła się ona w ową parabolę. Wkrótce otrzymuje odpowiedź z dowodem, i jego pytanie też jest wyjaśnione. I choć ta wymiana listów wprowadzała Christiana Huygensa do świata wielkiej europejskiej nauki, jego dowód, geometryczny i skomplikowany, został na uboczu rozważań przez następne 20 lat. Inne podejścia do problemu, łatwiejsze do zrozumienia, zyskały uznanie, ale ciągle nie było wyjaśnienia jak opisać kształt owej krzywej. Dopiero pod koniec XVII w. trzy osoby nieomal jednocześnie dają tę samą odpowiedź: Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli i 61-letni Christian Huygens. On też został autorem nazwy, catenaria (od catena, łańcuch z łaciny), czyli linia łańcuchowa, którą zaproponował w 1690 r. w liście do Leibniza.

Przypisy

  1. linę taką definiuje się także jako łańcuch zbudowany z nieskończenie wielu i nieskończenie krótkich doskonale sztywnych ogniw nie wykazujących tarcia na łączeniach ogniw

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]