Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych – jedna z podstawowych nierówności w matematyce. Można za jej pomocą dowieść wielu innych nierówności, takich jak nierówności między średnimi, nierówność Cauchy’ego-Schwarza, nierówność Czebyszewa.
Niech ciągi
oraz
liczb rzeczywistych będą jednomonotoniczne, tzn. takie, że zachodzą nierówności:
i ![{\displaystyle b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \ldots \geqslant b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f84d568db646143ce8f6fc5dc535c5e45337e0f0)
lub
i ![{\displaystyle b_{1}\leqslant b_{2}\leqslant \ldots \leqslant b_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc39982690c73a8f1e005b1bfdb6483146ae0320)
Wówczas prawdziwe są nierówności:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}\\[1ex]\geqslant {}&a_{1}b'_{1}+a_{2}b'_{2}+\ldots +a_{n}b'_{n}\\[1ex]\geqslant {}&a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\ldots +a_{n}b_{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b4cacb9ddcb5c9565187b05248f197957530bb)
gdzie
jest dowolną permutacją ciągu
Twierdzenie to jest prawdziwe również dla więcej niż dwóch ciągów, tak długo, jak są one tej samej monotoniczności.
W pierwszej kolejności sformułujmy tezę poprawniej.
Niech
będą ciągami o zgodnej monotoniczności długości
i niech
będzie permutacją na zbiorze
Wówczas
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot b_{s}\\\geqslant {}&\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot b_{\pi (s)}\\\geqslant {}&\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot b_{n-s+1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb55991041b824a58577226b5ddf9cada78c1d97)
Skupimy się na pierwszej z nierówności, gdyż druga już z niej wynika dość łatwo. Dowód będzie indukcyjny
Oczywiście dla ciągów o długości jeden teza jest oczywista.
Załóżmy zatem, że dowodzona nierówność zachodzi dla ciągów długości
i niech
będą ciągami o zgodnej monotoniczności długości
Niech ponadto
będzie permutacją zbioru
Jeśli
to
jest permutacją zbioru
i wówczas
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{s=1}^{n+1}a_{s}\cdot b_{s}&=a_{n+1}\cdot b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot b_{s}\\&\geqslant a_{n+1}\cdot b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot b_{\pi ^{\star }(s)}\\&=a_{n+1}\cdot b_{\pi (n+1)}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot b_{\pi (s)}\\&=\sum _{s=1}^{n+1}a_{s}\cdot b_{\pi (s)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e4d2578ef5a8d0be455b320f7cb064450a2788)
Załóżmy zatem, że
i niech dla
![{\displaystyle \pi ^{\star }(s)={\begin{cases}j&s=i\\\pi (s)&s\neq i\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8846112064df0155da921317297e23720ee10a)
Oczywiście
jest permutacją na zbiorze
Ponadto mamy
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{s=1}^{n+1}a_{s}b_{s}&=a_{n+1}b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{s}\\&\geqslant a_{n+1}b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{\pi ^{\star }(s)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb5f0dd718573260943b0ac845da3c2f0374453)
oraz
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{n+1}b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{{\pi }^{\star }(s)})-\sum _{s=1}^{n+1}a_{s}b_{\pi (s)}\\={}&(a_{n+1}b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{\pi ^{\star }(s)})-(a_{n+1}b_{\pi (n+1)}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{\pi (s)})\\={}&a_{n+1}\cdot (b_{n+1}-b_{\pi (n+1)})+\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot (b_{\pi ^{\star }(s)}-b_{\pi (s)})\\={}&a_{n+1}\cdot (b_{n+1}-b_{j})+\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot (b_{\pi ^{\star }(s)}-b_{\pi (s)})\\={}&a_{n+1}\cdot (b_{n+1}-b_{j})+a_{i}\cdot (b_{\pi ^{\star }(i)}-b_{\pi (i)})+\sum _{s=1,s\neq i}^{n}a_{s}\cdot \overbrace {(b_{\pi ^{\star }(s)}-b_{\pi (s)})} ^{=\,0}\\={}&a_{n+1}\cdot (b_{n+1}-b_{j})+a_{i}\cdot (b_{j}-b_{n+1})\\={}&(a_{i}-a_{n+1})\cdot (b_{j}-b_{n+1})\\[1ex]\geqslant {}&0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c0295b8b95cca125654e6033ac73f0fcead79b8)
skąd natychmiast
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{s=1}^{n+1}a_{s}b_{s}&=a_{n+1}b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{s}\\&\geqslant a_{n+1}b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{\pi ^{\star }(s)}\\&\geqslant \sum _{s=1}^{n+1}a_{s}b_{\pi (s)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b2f3b4caad4aaa5b3a1fc19cc4732bdcf20165)
co należało dowieść.
Druga nierówność wynika z zastosowania pierwszej do ciągu
pojęcia definiujące | ciągi ogólne |
|
---|
ciągi liczbowe |
|
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb |
|
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia |
|
---|