Nierówność o ciągach jednomonotonicznych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nierówność o ciągach jednomonotonicznych to jedna z podstawowych nierówności w matematyce. Można za jej pomocą dowieść wielu innych nierówności, takich jak nierówność Cauchy'ego o średnich, nierówność Cauchy'ego-Schwarza, nierówność Czebyszewa.


Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Gdy mamy dane dwa ciągi: (a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots, a_n) oraz (b_1, b_2, b_3, b_4,\ldots, b_n) liczb rzeczywistych takie że dla każdej pary naturalnych i i j nie większych niż n, takich że i jest mniejsze niż j, zachodzą nierówności:

\left \{ {{a_i\geqslant a_j} \atop {b_i\geqslant b_j}} \right.

lub

\left \{ {{a_i\leqslant a_j} \atop {b_i\leqslant b_j}} \right.

czyli innymi słowy oba ciągi są tej samej monotoniczności, to ciągi takie nazywamy jednomonotonicznymi i prawdziwe są nierówności:

a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n \geqslant a_1b'_1+a_2b'_2+\ldots+a_nb'_n~\geqslant a_1b_n+a_2b_{n-1}+\ldots+a_nb_1

gdzie (b'_1, b'_2, b'_3, b'_4,\ldots, b'_n) jest dowolną permutacją ciągu (b_1, b_2, b_3, b_4,\ldots, b_n).

Twierdzenie to jest prawdziwe również dla więcej niż dwóch ciągów, tak długo, jak są one tej samej monotoniczności.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód twierdzenia korzysta z zasady indukcji matematycznej.

Twierdzenie jest niewątpliwie prawdziwe dla n=1, ponieważ jest tylko jedna permutacja ciągu jednoelementowego, wobec czego:

b_1=b'_1\Leftrightarrow a_1b_1=a_1b'_1\Rightarrow a_1b_1 \geqslant a_1b'_1

Udowodnijmy zatem że dla dowolnego naturalnego n i dwóch ciągów rzeczywistych (a_i)_{i\in {N_{\leqslant n+1}}}, (b_i)_{i\in {N_{\leqslant n+1}}} spełniających założenia prawdziwym jest, że jeśli zachodzi:

a_1b_1+...+a_nb_n~\geqslant~a_1b'_1+a_2b'_2+...+a_nb'_n~\geqslant~a_1b_n+a_2b_{n-1}+...+a_nb_1

to zachodzi również:

a_1b_1+...+a_nb_n+a_{n+1}b_{n+1}~\geqslant~a_1b''_1+a_2b''_2+...+a_nb''_n+a_{n+1}b''_{n+1}

(gdzie (b'_i)_{i\in {N_{\leqslant n}}} jest permutacją (b_i)_{i\in {N_{\leqslant n}}}, a (b''_i)_{i\in {N_{\leqslant n+1}}} permutacją (b_i)_{i\in {N_{\leqslant n+1}}})

Dla b''_{n+1}=b_{n+1}\; jest to oczywiste, ponieważ można ją uzyskać poprzez obustronne dodanie wyrażenia a_{n+1}b_{n+1}\; w tezie indukcyjnej.

W przeciwnym wypadku istnieją takie naturalne i i j nie większe niż n, że dla pewnych permutacji:

a_1b'_1+...+a_nb'_n+a_{n+1}b_{n+1}=a_1b''_1+...+a_nb''_n+a_{n+1}b''_{n+1}-(a_ib_{n+1}+a_{n+1}b_j)+(a_ib_j+a_{n+1}b_{n+1})\;

a zgodnie z założeniami

a_i\geqslant a_{n+1}
b'_i=b_j\geqslant b_{n+1}

więc:

(a_i-a_{n+1})(b_j-b_{n+1})=-(a_ib_{n+1}+a_{n+1}b_j)+(a_ib_j+a_{n+1}b_{n+1})\geqslant 0

z czego

a_1b'_1+...+a_nb'_n+a_{n+1}b_{n+1}\geqslant a_1b''_1+...+a_nb''_n+a_{n+1}b''_{n+1}

więc oczywiście

a_1b_1+...+a_nb_n+a_{n+1}b_{n+1}\geqslant a_1b''_1+...+a_nb''_n+a_{n+1}b''_{n+1}

Co kończy dowód, ponieważ dla każdej permutacji '' możemy znaleźć odpowiednią permutację '\;, która będzie się od niej różniła co najwyżej jednym elementem.