Krzywa łańcuchowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Krzywe łańcuchowe

Krzywa łańcuchowa, linia łańcuchowakrzywa płaska opisująca kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie[1] swobodnie zwisającej pomiędzy dwiema różnymi podporami w jednorodnym polu grawitacyjnym.

Krzywa ta dana jest równaniem:

y=a\cdot \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\,

(patrz cosinus hiperboliczny).

Wyprowadzenie równania[edytuj | edytuj kod]

Linia łańcuchowa jest umieszczona w układzie współrzędnych, tak jak na rysunku obok, symetrycznie względem osi OY. Łuk będzie traktowany jak ciało materialne. Zakłada się, że krzywa jest w stanie równowagi. Łuk \widehat{AP} podlega działaniom trzech sił \vec{T}, \vec{t} i \vec{F}, gdzie:

Krzywa łańcuchowa.jpg
\vec{T}siła naprężenia krzywej w punkcie A o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,
\vec{t} – siła naprężenia krzywej w punkcie P o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,
\vec{F} – ciężar łuku \widehat{AP} krzywej.

Korzystając z założenia o stanie równowagi dostaje się:

 \vec{t} +\vec{T}+\vec{F}=0.

Wektory  \vec{T}, \vec{F}ortogonalne, więc oznaczając przez \alpha kąt między wektorami  \vec{t}, \vec{F} dostaje się {\textstyle \operatorname{tg}\alpha=\frac{|\vec{F}|}{|\vec{T}|}}.

Wiadomo, że:

|\vec{F}|= \delta\cdot g\cdot l,

gdzie:

l – długość łuku \widehat{AP},
\delta – jego liniowa gęstość,
g – przyspieszenie grawitacyjne.

Stąd

\operatorname{tg}\alpha=\frac{\delta \cdot g\ }{|\vec{T}|}\cdot l

Ostatecznie dostaje się równanie różniczkowe:

l=a\cdot \frac{dy}{dx} , gdzie a=\frac{|\vec{T}|}{\delta \cdot g\ }.

Różniczkując je względem x:

\frac{dl}{dx}=a\cdot \frac{d^{2}y}{dx^{2}}

i wykorzystuąc zależność dl^2=dx^2+dy^2 dostaje się:

\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}=a\cdot \frac{d^{2}y}{dx^{2}}.

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego z warunkami początkowymi y(0)= a, \dot y(0)= 0.

Podstawiając:

\frac{dy}{dx}=p(x),\quad\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{dp}{dx}

otrzymuje się równanie różniczkowe rzędu pierwszego:

\sqrt{1+p^{2}}=a\cdot \frac{dp}{dx}.

Rozdziela się zmienne oraz całkuje:

\int \frac{dp}{\sqrt{1+p^{2}}}=\int \left(\frac{1}{a} \right)\,dx
\operatorname{arsinh}(p) = \frac{x}{a} + C
p=\sinh\left(\frac{x}{a}+C\right)

Następnie wraca do podstawienia:

\frac{dy}{dx} = \sinh\left(\frac{x}{a}+C\right)
y = a \cdot \cosh\left(\frac{x}{a}+C\right)+D

Uwzględniając warunki początkowe otrzymuje się:

y = a \cdot \cosh \left(\frac{x}{a}\right).

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Liny wiszące[edytuj | edytuj kod]

Linia łańcuchowa znajduje zastosowanie przy badaniu wiszących lin (np. przewodów elektrycznych, lin metalowych)

Wiszącą linę charakteryzują pewne stałe: strzałka h, rozpiętość 2b, minimalne zawieszenie a i maksymalne zawieszenie d. W zastosowaniach przydatne są pewne zależności między tymi stałymi.

Kette Kettenkurve Catenary 2008 PD.JPG
  • Wiadomo, że długość linii łańcuchowej w przedziale [0,b] jest równa:
l=\sqrt{d^{2}-a^{2}}\,
skąd otrzymuje się zależność:
a=\frac{l^{2}-h^{2}}{2\cdot h}\,
  • Zgodnie z równaniem linii łańcuchowej:
h+a = a \cdot \cosh\left(\frac{b}{a}\right)\,,
czyli:
h = a \cdot \cosh\left(\frac{b}{a}\right)-a\,.
Po rozwinięciu prawej strony w szereg Maclaurina otrzymuje się:
h=a \left( 1+\frac{1}{2!}\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{1}{4!}\frac{b^{4}}{a^{4}}+ \frac{1}{6!}\frac{b^{6}}{a^{6}}+\cdots \right) - a \,
h=\frac{1}{2!}\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{4!}\frac{b^{4}}{a^{3}}+ \frac{1}{6!}\frac{b^{6}}{a^{5}}+\cdots \,,
co daje przybliżoną zależność:
a\approx \left(\frac{b^{2}}{2\cdot h}\right)\,.
  • W niektórych obliczeniach technicznych linie łańcuchową zastępuję się parabolą. Wynika to z rozwinięcia funkcji y=a\cdot \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\, w szereg Maclaurina:
y=a\cdot \left( 1+\frac{1}{2!}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{1}{4!}\frac{x^{4}}{a^{4}}+ \frac{1}{6!}\frac{x^{6}}{a^{6}}+\cdots \right)\,
Dla dostatecznie dużej wartości a (dla małej wartości h) daje dobre przybliżenie linii łańcuchowej parabolą:
y\approx a+ \frac{x^{2}}{2a}\,
Łańcuch wiszącego mostu, podtrzymujący pionowymi linami (wantami) nawierzchnię mostu, ma na ogół kształt paraboli.

Stropy[edytuj | edytuj kod]

Linię łańcuchową wykorzystuję się przy projektowaniu stropów. Strop zwany arkadą ma kształt opisany równaniem:

y = c \cdot \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\,

Historia[edytuj | edytuj kod]

Pierwsze z rozważań o krzywej, która przyjmuje kształt lekkiego, zwisającego łańcucha zamocowanego na końcach, pojawia się w „Dialogach” Galileusza z 1632 roku. Stwierdza on iż jest to parabola. Nie ma tam wywodów, a zaledwie wyrażenie powszechnie przyjętego przekonania, które prawdopodobnie wytworzyło się wiek wcześniej, gdy Leonardo da Vinci szkicował w swych pracach zawieszone łańcuchy. Wygląda na to, że wszyscy, łącznie z Kartezjuszem, milcząco przyjmowali to za prawdę. Stwierdzenie takie pojawiło się w znanym i cenionym podręczniku Simona Stevina z 1634 r. i poręczał je w zamieszczonych w książce komentarzach Albert Girard, który twierdził też, że 17 lat wcześniej zdołał tego dowieść, ale nie miał w owym momencie czasu na zamieszczenie dowodu w książce Stevina.

W 1646 roku Marin Mersene (znany matematyk zajmujący się między innymi teorią liczb) dostaje list od zamożnego rządowego funkcjonariusza z Niderlandów, znanego też ze swych poematów i kompozycji, Constantina Huygensa. W liście ojciec chwali się swoim zdolnym, 17-letnim synem Christiaanem. Zainteresowany Mersenne pisze do młodzika, a ten już w pierwszym liście oznajmia mu, że wbrew stwierdzeniu Galileusza, wiszący łańcuch nie tworzy paraboli, lecz podobną do niej krzywą. Mersenne prosi o pokazanie dowodu i pyta jak przy pomocy dodatkowych obciążeń (czyli zewnętrznych sił) zmienić kształt krzywej, by przemieniła się ona w ową parabolę. Wkrótce otrzymuje odpowiedź z dowodem i jego pytanie też jest wyjaśnione. I choć ta wymiana listów wprowadzała Christiana Huygensa do świata wielkiej europejskiej nauki, jego dowód, geometryczny i skomplikowany, został na uboczu rozważań przez następne 20 lat.

Inne podejścia do problemu, łatwiejsze do zrozumienia, zyskały uznanie, ale ciągle nie było wyjaśnienia jak opisać kształt owej krzywej. Dopiero pod koniec XVII w. trzy osoby nieomal jednocześnie dają tę samą odpowiedź: Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli i 61-letni Christian Huygens. On też został autorem nazwy, catenaria (łac. catena – łańcuch), czyli linia łańcuchowa, którą zaproponował w 1690 r. w liście do Leibniza.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. linę taką definiuje się także jako łańcuch zbudowany z nieskończenie wielu i nieskończenie krótkich doskonale sztywnych ogniw nie wykazujących tarcia na łączeniach ogniw

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]