Twierdzenie Rolle'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Rolle's theorem.svg

Twierdzenie Rolle'atwierdzenie klasycznej analizy matematycznej głoszące w swej istocie, że funkcja różniczkowalna, która przyjmuje równe wartości w dwóch punktach musi mieć punkt, gdzie nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji jest równe zeru.

Twierdzenie to opublikował (dla wielomianów) francuski matematyk Michel Rolle w 1691. W innej postaci znane ono było w 1150 roku hinduskiemu matematykowi Bhaskarze.

Wersja standardowa[edytuj | edytuj kod]

Niech f będzie ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na przedziale domkniętym [a, b], różniczkowalną na przedziale otwartym (a, b). Wówczas jeżeli f(a) = f(b), to istnieje taki punkt c należący do przedziału otwartego (a, b), że

f ^\prime\ (c) = 0.

Z tej wersji twierdzenia Rolle'a korzysta się przy dowodzie twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej. Twierdzenie Rolle'a jest przypadkiem szczególnym twierdzenia Lagrange'a.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli f \equiv \mathrm{const}, to f'(c) = 0 dla każdego c \in (a, b). Gdy f nie jest tożsamościowo równa stałej, to istnieje taki punkt x \in (a, b), dla którego zachodzi f(x) > f(a) = f(b) lub f(x)< f(a) = f(b). Przypuśćmy, że zachodzi pierwszy przypadek, tzn. dla pewnego argumentu istnieje wartość funkcji większa od f(a) = f(b); rozumowanie w drugim przypadku jest analogiczne (niżej trzeba rozważać wartości najmniejszej).

Określona na przedziale zwartym [a, b] funkcja ciągła f na mocy twierdzenia Weierstrassa przyjmuje wartość największą, tzn. istnieje taki punkt c \in [a, b], że f(c) = \sup f(x) dla x \in [a, b].

Z założenia, iż istnieje wartość większa od f(a) = f(b) wynika, że a \neq c \neq b, tzn. c \in (a, b). Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum globalnego funkcji f w c jest znikanie pochodnej w tym punkcie, co dowodzi tezy.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Niech h := b - a będzie rzeczywistą liczbą dodatnią, a x := a, wtedy x + h = b. Wówczas twierdzenie Rolle'a mówi, że istnieje punkt c \in (a, b), który można zapisać jako x + \theta h, gdzie \theta \in (0, 1). Podstawiając te wartości do równości f(b) = f(a) uzyskuje się równość

f(x + h) = f(x).

Jak zaznaczono wcześniej jest to przypadek szczególny twierdzenia Lagrange'a mówiący dla tych samych co twierdzenie Rolle'a założeń z wyjątkiem f(a) = f(b), że istnieje taki punkt x + \theta h, który spełnia tożsamość

f(x + h) = f(x) + f'(x + \theta h) h.

Za odległe uogólnienie twierdzenia Rolle'a można uważać twierdzenie Taylora, które mówi, iż zgodnie z powyższymi oznaczeniami istnieje taki punkt x + \theta h, że spełniona jest równość:

f(x + h) = f(x) + \frac{f'(x)}{1!}h + \frac{f^{(2)}(x)}{2!}h^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x)}{n!} h^n + \frac{f^{(n + 1)}(x + \theta h)}{(n + 1)!} h^{n + 1},

gdzie o funkcji f zakłada się, by była n+1 razy różniczkowalna. Twierdzenie Lagrange'a jest więc przypadkiem szczególnym dla n = 0, a samo twierdzenie Rolle'a zdaje się przy nim wręcz trywialne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]