Równanie sześcienne lub trzeciego stopnia – równanie algebraiczne postaci gdzie Jeżeli współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi, to równanie ma trzy pierwiastki, w tym conajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Jeżeli współczynniki te są liczbami zespolonymi, to równanie to ma trzy pierwiastki - na ogół są zespolone.
Równania sześcienne zostały rozwiązane w pierwszej połowie XVI wieku. W tamtym czasie w Europie nie używano jeszcze liczb ujemnych i każde równanie zapisywano tak aby wszystkie współczynniki były dodatnie. Rozważano więc szereg różnych typów równań trzeciego stopnia. Matematycy wiedzieli jednak, że rozwiązanie ogólnego równania trzeciego stopnia może być zredukowane do rozwiązania równania:
gdzie
Włoski matematyk Scipione del Ferro podał metodę rozwiązania jednego z tych typów, a prawdopodobnie też i drugiego. Nie rozgłaszał on swoich odkryć i przekazał on swoją metodę jedynie paru osobom, np. jego student Fior wiedział, jak rozwiązać równanie pierwszego typu. Del Ferro zapisywał wszystkie swoje odkrycia w notatniku, który po jego śmierci przeszedł w posiadanie Hannibala Navego, zięcia del Ferro. (Nave był również matematykiem i po śmierci teścia w 1526 r. przejął jego posadę na Uniwersytecie Bolońskim).
Niezależnie (ale i później) równania te były rozwiązane przez Niccolò Tartaglię. Potrafił on rozwiązać niektóre typy równań, kiedy w 1535 zaaranżowano mecz matematyczny pomiędzy Fiorem a Tartaglią. W czasie tej debaty każda ze stron podała drugiej 30 równań do rozwiązania. Podczas gdy zadania przygotowane przez Tartaglię były bardzo różnorodne, te podane przez Fiora dotyczyły tylko jedynego typu równań, które Fior potrafił rozwiązać. Rankiem 13 lutego1535 Tartaglia odkrył sposób na rozwiązywanie tego typu równań i mecz wygrał. Swojej metody rozwiązywania równań Tartaglia nie chciał jednak ogłosić.
Girolamo Cardano uprosił Tartaglię w 1539 r. o wyjawienie metody rozwiązywania równań sześciennych, w zamian zobowiązując się do dochowania tajemnicy i nieujawniania metody. W 1540 r., Lodovico Ferrari, asystent Cardana, odkrył metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4, jednak odkrycie to nie mogło zostać opublikowane ze względu na obietnicę daną Tartaglii.
W 1543 r. Cardano i Ferrari odwiedzili Navego, zięcia del Ferro, w Bolonii i dowiedzieli się od niego, że to del Ferro był pierwszym matematykiem, który rozwiązał równania trzeciego stopnia. Cardano uznał, że obietnica dana Tartaglii nie obowiązuje go więcej i opublikował metodę rozwiązywania równań 3. i 4. stopnia w swoim dziele Ars Magna w 1545.
Równania sześcienne znalazły zastosowanie m.in. w fizyce i chemii, np. w termodynamice. Równanie van der Waalsa jest równaniem sześciennym ze względu na objętość opisywanego gazu.
może być sprowadzone do tak zwanej postaci kanonicznej:
(2)
Dzieląc obie strony równania (1) przez otrzymujemy
i stosując podstawienie mamy
Po wymnożeniu, uproszczeniu i poszeregowaniu według potęg otrzymujemy
Wyraz z kwadratem znika i równanie wygląda tak:
Następnie należy zastosować 2 podstawienia:
Otrzymujemy równanie w postaci kanonicznej (2). Każdy pierwiastek tego równania wyznacza pierwiastek równania (1).
Tak więc, jeśli wskaże się jak rozwiązywać równania w postaci kanonicznej, to będzie można rozwiązać każde równanie trzeciego stopnia.
Sprowadzenie do postaci kanonicznej łatwo wykonywać, stosując schemat Hornera. Ponieważ , więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu
to na mocy tzw. twierdzenia Bézouta można podzielić wielomian przez redukując równanie sześcienne do równania kwadratowego. Rozwiązując równanie kwadratowe można znaleźć pozostałe rozwiązania równania (2).
Poniżej przedstawiono metodę znajdowania jednego pierwiastka równania sześciennego, a dalej bardziej szczegółowo opisano sposób na znajdowanie wszystkich rozwiązań tego równania.
Jeśli (a jest to wtedy gdy ) to znalezienie rozwiązania tego równania sprowadza się do znalezienia liczby, która podniesiona do trzeciej potęgi da nam a to po prostu pierwiastek sześcienny z Poniżej będziemy więc zakładać, że
Przyjmujemy, że Wówczas
(3)
Po dalszym uporządkowaniu informacji ze wzoru (3) otrzymujemy równanie
(4)
Zauważamy, że jeśli
oraz
(5)
(a ), to spełnia równanie (4) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia on równanie (2). Rozwiązując układ równań (5), otrzymujemy oraz
Poniżej będzie przedstawiona metoda, pozwalająca otrzymać wszystkie pierwiastki równania (2), jeśli jeden został już znaleziony według powyższej metody. Niech będą pierwiastkami 3. stopnia z jedynki, tzn.
Tak jak wcześniej, niech będzie pierwiastkiem równania (6):
Uzasadnienie: gdy weźmiemy z indeksem 1, to pomnożenie dodaje 1/3 pełnego kąta, pomnożenie przez kwadrat dodaje 2/3 pełnego kąta. Równie dobrze moglibyśmy brać dodając 2/3 pełnego kąta i dla kwadratu 4/3 = 1/3 pełnego kąta, natomiast nie można brać = 1.
(Powyższe wzory, po wykonaniu w nich podstawień stosownych formuł na nazywane są wzorami Cardana[1]. Są one współczesnym uogólnieniem metody opisanej przez Girolama Cardana w Ars Magna.)
Wykażemy, że liczby są wszystkimi rozwiązaniami równania (2).
o współczynnikach zespolonych, sprowadzamy je do postaci kanonicznej
(2)
gdzie
Następnie znajdujemy parę liczb spełniających równania
oraz
(Wymaga to rozwiązania równania kwadratowego i wyznaczenia pierwiastków trzeciego stopnia). Rozwiązaniami równania (1) są liczby
Pierwiastki rzeczywiste równania kanonicznego o współczynnikach rzeczywistych[edytuj | edytuj kod]
W oparciu o dyskusję w poprzedniej sekcji możemy podać gotowe wzory na pierwiastki rzeczywiste równań w postaci kanonicznej. Rozważamy następujące równanie:
Zależnie od znaku wyróżnika równania mamy 3 możliwości.
Przypadek 1
Wówczas
jest jedynym pierwiastkiem rzeczywistym równania (2).
Przypadek 2
Wówczas równanie (2) ma co najwyżej dwa rozwiązania w liczbach rzeczywistych:
oraz
Gdy to rozważane równanie ma w liczbach rzeczywistych dokładnie dwa różne pierwiastki; jeden z nich jest podwójny.
Przypadek 3
W tym przypadku równanie (2) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste. Aby wyznaczyć i opisać te pierwiastki, używamy funkcji trygonometrycznych i postaci trygonometrycznej liczb zespolonych.
Ponieważ to a stąd
Możemy więc zdefiniować
oraz wybrać liczbę tak, że
Wówczas i a zatem liczba spełnia równanie kwadratowe Sprawdzamy, że sprzężone liczby zespolone
oraz
spełniają równania (5). Stąd, zgodnie z argumentacją z końca poprzedniej sekcji, znajdujemy, że wszystkie pierwiastki równania (2) są rzeczywiste i są to:
Inne metody rozwiązywania równania kanonicznego[edytuj | edytuj kod]
Ten nieliniowy układ z trzema niewiadomymi ze względu na wysoką symetrię jest jednym z niewielu, które dają się rozwiązać analitycznie. Ze względu na prostotę pierwszego równania wystarczy zająć się jedynie dwoma następnymi po wyrugowaniu zmiennej
Zastosujemy teraz podstawienie para-trygonometryczne (ważony para-cosinus):
zależności
prowadzą do układu równań
który rozwiązujemy rozwiązując proste równanie kwadratowe.
a dalej do sześciu rozwiązań na ale tylko trzech na jako że każda liczba rzeczywista lub zespolona różna od zera ma zawsze trzy pierwiastki trzeciego stopnia.
How Imaginary Numbers Were Invented(ang.), kanał Veritasium na YouTube, 1 listopada 2021 [dostęp 2023-05-21] – film o genezie liczb zespolonych w rozwiązaniach równania kubicznego.