Reguła znaków Kartezjusza

Przykład zachodzenia reguły znaków: podany wielomian ma dwie zmiany znaków w kolejnych członach (+4x−15x², −5x³+3x⁴) i dwa pierwiastki dodatnie (x = 1, 2).

Kartezjusz, fr. René Descartes (1596–1650)

Reguła znaków Kartezjusza – twierdzenie algebry dotyczące wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Mówi ono o liczbie dodatnich miejsc zerowych takich funkcji, a w konsekwencji pozwala oszacować też liczbę pierwiastków ujemnych, wszystkich rzeczywistych oraz z innego zakresu. W pewnych przypadkach reguła ta podaje dokładną liczbę miejsc zerowych w niektórych przedziałach, np. o określonym znaku.

Reguła znaków mówi o wielomianach jednej zmiennej rzeczywistej o rzeczywistych współczynnikach $(f\in \mathbb {R} [X]),$ uporządkowanych według malejących potęg zmiennej: $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0}.$ Twierdzenie to szacuje liczbę $p$ dodatnich pierwiastków tego wielomianu $(f(x_{0})=0,x_{0}>0),$ liczonych wraz z krotnością. Reguła znaków wiąże $p$ z liczbą $s$ zmian znaków między kolejnymi niezerowymi współczynnikami wielomianu; zgodnie z twierdzeniem $p$ jest równe $s$ lub mniejsze od niego o liczbę parzystą: $p\leqslant s,\ 2|(s-p),$ krótko: $s-p\in 2\mathbb {N} .$ W szczególności: jeśli $s$ wynosi zero lub jeden, to również $p$ wynosi odpowiednio zero lub jeden.

Problem ten badał Kartezjusz; w dziele Geometria przedstawił tę regułę, choć pierwszy poświadczony dowód jest późniejszy. Podał go w XVIII wieku Jean Paul de Gua de Malves, a pełne sformułowanie – opisane niżej – podał w XIX wieku Carl Friedrich Gauss. Twierdzenie to można udowodnić, korzystając z indukcji matematycznej, twierdzenia Rolle’a i własności pochodnych wielomianów. Nazwa reguły pojawiła się najpóźniej w 1809 roku w języku angielskim.

Uogólnieniem tego faktu jest twierdzenie Sturma, znajdujące liczbę pierwiastków wielomianu rzeczywistego w dowolnym przedziale liczbowym – nie tylko w dwóch nieskończonych przedziałach wszystkich liczb dodatnich $(\mathbb {R} _{+})$ lub ujemnych $(\mathbb {R} _{-}).$

Przykłady

Przykład trójmianu kwadratowego

W wielomianie

$f(x)=x^{2}-2x+1$

mamy dwie zmiany znaku, zatem nasz wielomian ma zero lub dwa dodatnie pierwiastki. W istocie ma jeden dwukrotny: $f(x)=(x-1)^{2}.$

Przykład funkcji kubicznej

W wielomianie

$g(x)=x^{3}+x^{2}-x-1$

zachodni jedna zmiana znaku – między drugim a trzecim składnikiem $(+x^{2}-x).$ Stąd wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Widać to wyraźnie po rozłożeniu wielomianu na czynniki:

$g(x)=(x+1)^{2}(x-1),$

−1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, jedynym dodatnim jest 1.

Zmieniając znak na przeciwny przy nieparzystych potęgach wielomianu, otrzymuje się wielomian:

$g(-x)=-x^{3}+x^{2}+x-1.$

Tu znak zmienia się dwukrotnie, między pierwszym a drugim oraz między trzecim a czwartym składnikiem. Zatem wielomian wyjściowy ma dwa lub zero pierwiastków ujemnych.

Przykład wielomianu 4. stopnia

Podobnie, kolejne współczynniki wielomianu:

$h(x)=x^{4}+2x^{3}-x^{2}+5x-1$

mają znaki: +, +, −, +, −,, tzn. znak zmienia się trzy razy. Zgodnie z regułą Kartezjusza wielomian ma bądź trzy, bądź jeden pierwiastek dodatni. Ponieważ po zastąpieniu $x$ przez $-x$ pierwiastki wielomianu zmieniają znaki, a po zastąpieniu $x$ przez $x+h$ pierwiastki zmniejszają się o $h,$ to za pomocą reguły Kartezjusza można również oszacować liczbę pierwiastków większych od $h.$ W powyższym przykładzie zastąpienie $x$ przez $-x$ daje:

$h(-x)=x^{4}-2x^{3}-x^{2}-5x-1,$

tzn. wyjściowy wielomian ma jeden pierwiastek ujemny, a zastąpienie $x$ przez $x+1$ daje:

$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+13x+6,$

skąd wniosek, że dany wielomian nie ma pierwiastków większych od 1.

Konsekwencje i zastosowania

Reguła ta umożliwia też oszacowanie liczby $q$ ujemnych pierwiastków wielomianu $f$. Sprowadza się to do sprawdzenia analogicznej wielkości $s_{-}$ dla wielomianu $f(-x),$ czyli po zmianie na przeciwne znaków współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej: $f(-x)=a_{0}-a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}(-x)^{n}.$ Ponadto zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że łączna liczba zespolonych pierwiastków wielomianu – licząc krotności – jest równa jego stopniowi $(\deg f),$ co pozwala znaleźć też liczbę pierwiastków poza osią rzeczywistą $(x_{0}\notin \mathbb {R} ){:}$ $n-p-q.$ Jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu są rzeczywiste $(p+q=n),$ to $p=s$.

Bibliografia

• Zbigniew Sęp: Descartes (Kartezjusz) René, [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.

Literatura dodatkowa

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wydawnictwo Naukowe PWN. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Xiaoshen Wang, A Simple Proof of Descartes’s Rule of Signs (ang.), The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 6 (Jun. – Jul., 2004), pp. 525-526, Taylor & Francis, Ltd. [dostęp 2023-06-05].