Prędkość kątowa

Prędkość kątowa – wielkość wektorowa opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu) ciała. Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu ciała i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej^[1].

Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt $\theta$ to wartość prędkości kątowej $\omega$ jest równa^[2]:

\omega ={\frac {d\theta }{dt}}.

Jednostką prędkości kątowej w układzie SI jest radian na sekundę^[3]:

\omega =\left[\mathrm {\frac {rad}{s}} \right].

Związek z liniowymi wielkościami kinematycznymi

Jeżeli ciało porusza się po okręgu, to obróciwszy się o kąt $\theta ,$ zakreśli łuk o długości^[4]:

s=\theta r.

Zależność chwilowej prędkości liniowej $v$ ciała poruszającego się po okręgu o promieniu $r$ od chwilowej prędkości kątowej $\omega$ tego ciała dana jest wzorem^[4]:

v={\frac {ds}{dt}}={\frac {d\theta r}{dt}}=\omega r,

gdzie $s$ jest długością łuku zakreślanego w czasie $t.$

Różniczkując powyższy związek względem czasu:

{\frac {dv}{dt}}=r{\frac {d\omega }{dt}},

a_{t}=r\varepsilon ,

gdzie $a_{t}$ to przyspieszenie styczne ciała, a $\varepsilon$ to przyspieszenie kątowe^[4].

Zmiana kierunku ruchu punktu poruszającego się po okręgu wywołuje przyspieszenie dośrodkowe zwane też radialnym^[4]:

a_{r}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r.

Zapis wektorowy

W zapisie wektorowym prędkość kątowa zdefiniowana jest następująco^[5]:

{\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {r} |^{2}}},

co odpowiada:

\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ,

czyli jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego ciała poruszającego się ruchem obrotowym i jego prędkości liniowej (chwilowej). Stąd pochodzą wszystkie jej wyżej wymienione własności.

Przyspieszenie kątowe: